אלגברה לינארית/שחלוף מטריצה

שחלוף

שיחלוף (באנגלית: transpose) של מטריצה כלשהי $A\in \mathbb {F} ^{m\times n}$ מסומן באופן הבא: $A^{t}$ או $A^{T}$ . מתקיים: $A^{t}\in \mathbb {F} ^{n\times m}$ (כלומר, הגודל של המטריצה התהפך) ו- $[A^{t}]_{i,j}=[A]_{j,i}$ . כלומר, האברים מחליפים במקום שלהם בשורה והעמודה. לדוגמה: ${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}^{t}={\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}}$ . זאת אומרת צריך לכתוב את שורות A במאונך משמאל לימין וככה נקבל את המטריצה המשוחלפת.

הגדרה 4: המטריצה המשוחלפת כאשר $A\in M_{m,n}(\mathbb {F} )$, נסמן את המטריצה המשוחלפת שלה כ$A^{T}$, וההגדרה שלה היא שכל איבר $a_{i,j}$ במטריצה הרגילה, יהפוך לאיבר $a_{j,i}$ במטריצה המשוחלפת, קל לראות שאם $A$ מסדר $m\times n$, אז $A^{T}$ מסדר $n\times m$. דוגמא: ניקח את המטריצה $A={\begin{pmatrix}3&4&5\\6&7&1\end{pmatrix}}$, אזי $A^{T}={\begin{pmatrix}3&6\\4&7\\5&1\end{pmatrix}}$

קבוצה פורשת של מטריצה משוחלפת

יהי $S=\left\{{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\right\}$ ו-$V=\mathbb {R} ^{3}$. נדרג את ${\begin{pmatrix}1&|&1&0&0\\2&|&0&1&0\\3&|&0&0&1\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}1&|&1&0&0\\0&|&-2&1&0\\0&|&-3&0&1\end{pmatrix}}$ לכן $span\left({\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\right)=\left\{{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\begin{cases}-2x_{1}+x_{2}=0\\-3x_{1}+x_{3}=0\end{cases}}\right\}$

נמצא קבוצה פורשת של מטריצה משוחלפת: נכפיל ${\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=0\Rightarrow x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0$

לאחר העברת אגפים$x_{1}=-2x_{2}-3x_{3}$ נקבל $\left\{{\begin{pmatrix}-2t_{1}-3t_{2}\\t_{1}\\t_{2}\end{pmatrix}}\mid t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \right\}=span\left({\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}}\right).$

נגדיר $l_{1}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=-2x_{1}+2$ ו-$l_{2}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}=-3x_{1}+x_{3}$

$\left(l_{1},l_{2}\right)$ בסיס של $\left\{{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\right\}^{0}$ דהיינו $span\left({\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\right)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\begin{cases}l_{1}\left(x\right)=0\\l_{2}\left(x\right)=0\end{cases}}\right\}.$.

תכונות השחלוף

• $(A^{t})^{t}=A$
• $(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}$
• $(\alpha A)^{t}=\alpha (A^{t})$

• ${\mbox{tr}}(A^{t})={\mbox{tr}}(A)$

• $(AB)^{t}=B^{t}A^{t}$

משפט 2: אם המכפלה $AB$ מוגדרת, אז מתקיים $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$ הוכחה: $\left[\left(AB\right)^{T}\right]_{ij}=\left[AB\right]_{ji}=\sum _{l=1}^{n}\ a_{jl}b_{li}=\sum \ _{l=1}^{n}\ b_{li}a_{jl}=\sum _{i=1}^{n}\ \left[B^{T}\right]_{il}\left[A^{T}\right]_{lj}=\left[B^{T}A^{T}\right]_{ij}$

הגדרה 5: מטריצה סימטרית ואנטי סימטרית מטריצה $A$ תיקרא מטריצה סימטרית אם $A^{T}=A$, ומטריצה $A$ תחקרא מטריצה אנטי סימטרית אם $A^{T}=-A$