אלגברה לינארית/שחלוף מטריצה

שחלוף

עריכה

שיחלוף (באנגלית: transpose) של מטריצה כלשהי   מסומן באופן הבא:   או   . מתקיים:   (כלומר, הגודל של המטריצה התהפך) ו-   . כלומר, האברים מחליפים במקום שלהם בשורה והעמודה. לדוגמה:   . זאת אומרת צריך לכתוב את שורות A במאונך משמאל לימין וככה נקבל את המטריצה המשוחלפת.


הגדרה 4: המטריצה המשוחלפת

כאשר  , נסמן את המטריצה המשוחלפת שלה כ , וההגדרה שלה היא שכל איבר   במטריצה הרגילה, יהפוך לאיבר   במטריצה המשוחלפת, קל לראות שאם   מסדר  , אז   מסדר  .

דוגמא: ניקח את המטריצה  , אזי  

קבוצה פורשת של מטריצה משוחלפת

עריכה

יהי   ו- . נדרג את   לכן  

נמצא קבוצה פורשת של מטריצה משוחלפת: נכפיל  

לאחר העברת אגפים  נקבל  

נגדיר   ו- 

  בסיס של   דהיינו  .

תכונות השחלוף

עריכה
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  


משפט 2: אם המכפלה   מוגדרת, אז מתקיים  

הוכחה:

 

 



הגדרה 5: מטריצה סימטרית ואנטי סימטרית

מטריצה   תיקרא מטריצה סימטרית אם  , ומטריצה   תחקרא מטריצה אנטי סימטרית אם