אלגברה לינארית/תכונות כפל מטריצות

תכונות כפל מטריצות

• כפל שלוש מטריצות מקיים כפל אסוציאטיבי - תהינה $A,B,C$ מטריצות אזי $(AB)C=A(BC)$

משפט 1: אסוציאטיביות כפל מטריצות, אם המכפלה $ABC$ מוגדרת אז מתקיים $A(BC)=(AB)C$ הוכחה: $\left[\left(AB\right)C\right]_{ij}=\sum _{k=1}^{p}\ \left[AB\right]_{ik}c_{kj}=\sum _{k=1}^{p}\left(\sum _{l=1}^{n}a_{il}b_{lk}\ \right)c_{kj}=\sum _{k=1}^{p}\left(\sum _{l=1}^{n}a_{il}b_{lk}c_{kj}\ \right)=\sum _{l=1}^{n}a_{il}\left(\sum _{k=1}^{p}b_{lk}c_{kj}\ \right)=\ \sum _{l=1}^{n}a_{il}\left[BC\right]_{lj}=\left[A\left(BC\right)\right]_{ij}$

• הכפל דיסטריבוטיבי (פילוגי) עם פעולת החיבור. כלומר, $A(B+C)=AB+AC$ וגם $(A+B)C=AC+BC$

משפט 3: פילוגיות כפל מטריצות משמאל מעל חיבור, אם המטריצות $AB,AC$ מוגדרות, אזי מתקיים $A(B+C)=AB+AC$ הוכחה: $\left[A\left(B+C\right)\right]_{ij}=\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}\left(b_{lk}+c_{lk}\right)=\sum _{l=1}^{m}\ \ a_{il}b_{lk}+a_{il}c_{lk}=\sum _{l=1}^{m}\ \ a_{il}b_{lk}+\sum _{l=1}^{m}\ \ a_{il}c_{lk}=\left[AB\right]_{ij}+\left[AC\right]_{ij}=\left[AB+AC\right]_{ij}$

משפט 4: פילוגיות כפל מטריצות מימין מעל חיבור, אם המטריצות $AC,BC$ מוגדרות, אזי מתקיים $(A+B)C=AC+BC$ הוכחה: $\left[\left(A+B\right)C\right]_{ij}=\sum _{l=1}^{m}\left(a_{il+b_{il}}\right)c_{lj}=\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}c_{lj}+b_{il}c_{lk}=\sum _{l=1}^{m}\ a_{il}c_{lj}+\sum _{l=1}^{m}\ b_{il}c_{lj}=\left[AC\right]_{ij}+\left[BC\right]_{ij}=\left[AC+BC\right]_{ij}$

מטריצת היחידה

• אם מטריצה $A\in M_{m\times n}$ כפול מטריצת יחידה $I_{m}$ אז $I_{m}*A=A$.
• אם מטריצה $A\in M_{m\times n}$ אז $A*I_{n}={\begin{bmatrix}Ae_{1},..,Ae_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{1},...,C_{n}\end{bmatrix}}=A$

מכפלה במטריצת האפס

• מטריצת האפס כפול כל מטריצה תיתן את מטריצת האפס (אם פעולת הכפל בין המטריצה למטריצת ה-$0$ מוגדרת)
• אם בשורה ה-$i$ יש שורת אפסים תתקבל מטריצה עם שורה בה יש אפסים רק כאשר נכפול מימן את המטריצה.

תהי $A={\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}}$, $B={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}$ אז ${\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&3\\0&0\end{bmatrix}}$ (הכפלה עם מטריצה בעלת שורת אפסים מכיוון ימין) לעומת זאת, ${\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&2\end{bmatrix}}$ (הכפלה עם מטריצה בעלת שורת אפסים מכיוון שמאל לא מניבה מטריצה עם שורת אפסים!) מכאן שאסוציאטיביות אינה תכונה קיימת בכפל של שתי מטריצות.

• אם בעמודה ה-$j$ יש טור אפסים לא בהכרח נקבל מטריצה עם אפס.