אלגברה לינארית/תלות לינארית של פונקציות

תזכורות

1. $V=\mathbb {F} \left[x\right]$ אז $\left\{1,x,x^{2},...\right\}$ היא בת"ל. ובפרט כל תת קבוצה סופית, לדוגמה, $\left(1,x,x^{2},..,x^{n}\right)$, בת"ל.
2. יהי $V=P\left(\mathbb {F} _{2}\right)$ וגם $f,g,h:\mathbb {F} _{2}\to \mathbb {F} _{2}$ כך ש-$f\left(x\right)=1$, $g\left(x\right)=x$ ו-$h\left(x\right)=x^{2}$ לכל $x\in \mathbb {F} _{2}$ אז $\left(f,g,h\right)$ ת"ל כי $g=h$.

טענה 1: מרחב הפולינומים ב$\mathbb {R}$ בת"ל יהי $V=P\left(\mathbb {R} \right)$ נוכיח $\left\{1,x,x^{2},..\right\}$ היא בת"ל. יהיו $a_{0},..,a_{n}\in \mathbb {R}$ כך ש $a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}=0$. נניח בשלילה שלא כל המספרים $a_{i}$ הם אפסים. נסמן ב-$m=\max \left\{i\mid a_{i}\neq 0\right\}$ . אז $a_{0}+a_{1}x+...a_{m}x^{m}\neq 0$ ולכן נוכל להעביר אגף לאותו נעלם עם חזקה זו ולחלק בה כך שנקבל, $x^{m}={\frac {-1}{a_{m}}}\left(a_{0}+a_{1}x+...a_{m-1}x^{m-1}\right)$ נגדיר $c=\left(m+1\right)\cdot \max \left\{\left|{\frac {a_{i}}{a_{m}}}+1\right|0\leq i\leq m-1\right\}$ ($c$ מוכפל בסקלר הגדול ביותר מבין האיברים המבודדים לעיל ולכן נקבל ערך גדול ממש בסכום האיברים מימין). נציב $x=c$ אל המשוואה וניקח את הערך המוחלט:$\left|{\frac {a_{0}}{a_{m}}}+{\frac {a_{1}}{a_{m}}}c+...+{\frac {a_{m-1}}{a_{m}}}c^{m-1}\right|\leq \left|{\frac {a_{0}}{a_{m-1}}}\right|+...+\left|{\frac {a_{m-1}}{a_{m}}}\right|\cdot c^{m}\leq \left(\left|{\frac {a_{0}}{a_{m}}}\right|+,,,+\left|{\frac {a_{m-1}}{a_{m}}}\right|\right)c^{m-1}\leq \max \left\{\left|{\frac {a_{i}}{a_{m}}}\right|0\leq i\leq m-1\right\}<c\cdot c^{m-1}=c^{m}$ סתירה.

דוגמה 1: יהי $V=\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ ו-$f,g,h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. $h\left(x\right)=\cos x$, $g\left(x\right)=\sin x$ ו-$f\left(x\right)=1$ לכל$x\in \mathbb {R}$. האם $\left(f,g,h\right)$ בת"ל? כן, יהיו $c_{1},c_{2},c_{3}\in \mathbb {R}$ כך ש-$c_{1}+c_{2}\sin x+c_{3}\cos x=0$ לכל $x\in \mathbb {R}$. נציב $x=0$. נקבל: $c_{1}+c_{3}=0$ נציב $x={\frac {\pi }{2}}$ ונקבל $c_{1}+c_{2}=0$ נציב $x=\pi$ ונקבל $c_{1}-c_{3}=0$ קיבלנו מערכת משוואות עם הפתרון יחיד $c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$. לכן $\left(f,g,h\right)$ בת"ל

דוגמה 1: יהי $V=\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ ו $f,g,h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. $f\left(x\right)=1,g\left(x\right)=\sin ^{2}x,h=\cos ^{2}x$ לכל $x\in \mathbb {R}$.האם $\left(f,g,h\right)$ היא בת"ל? לא. מפני $f-g-h=0$ לחילופין ניתן לבצע הצבה.

דוגמה 2: $V=\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$, $f,g,h\in V$ ו-$f\left(x\right)=1,g\left(x\right)=x,h\left(x\right)=x^{2}$ לכל $x\in \mathbb {R}$ $U=span\left(f,g,h\right)$. אז $W=\left\{\varphi \in U\mid \varphi \left(1\right)=0\right\}$ . מצא בסיס עבור $W$ אם $\varphi \in W$ אז קיימים $c_{0},c_{1},c_{1}\in \mathbb {R}$ כך ש $\varphi \left(x\right)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}$ לכל $x\in \mathbb {R}$. כך ש-$\varphi \left(x\right)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}$ לכל$x\in \mathbb {R}$. וגם $0=\varphi \left(1\right)=c_{0}+c_{1}+c_{2}$ לכן $c_{0}=c_{1}+c_{2}$ כלומר $\varphi \left(x\right)=c_{1}+c_{2}+c_{1}x+c_{2}x^{2}$ דהינו $\varphi \left(x\right)=c_{1}(1+x)+c_{2}(1+x^{2})$ ולכן אז $\left(c_{0},c_{1},c_{2}\right)=c_{1}\left(-1,1,0\right)+c_{2}\left(-1,0,1\right)$ לפיכך $\varphi \in W$ אמ"מ $\varphi \in span\left(\left\{-1+x,-1+x^{2}\right\}\right)$. בנוסף ניתן לראות ש$\left\{-1+x,-1+x^{2}\right\}$ בת"ל ולכן הן בסיס ל W.

טענה 1: $V=\mathbb {R} \left[x\right]_{\leq n}=span\left(\left\{1,x,x^{2},...,x^{n}\right\}\right)$ ולכן המ"ו ממימד $n+1$. יהי $a\in \mathbb {R}$. אז $\left\{1,\left(x-a\right),\left(x-a\right)^{2},..,\left(x-a\right)^{n}\right\}$ הוא בסיס של $V$. תוכן=מספיק להוכיח שהיא בת"ל או פורשת (כי כבר יודעים שהמימד $n+1$ ולכן על פי משפט מהווה בסיס) נוכיח באינדוקציה על $n$ כי $span\left(\left\{1,\left(x-a\right),\left(x-a\right)^{2},..,\left(x-a\right)^{n}\right\}\right)=V$. עבור $n=0$ אז $span((x-a)^{0})=1$. נניח כי הטענה נכונה לכל $n-1$, כלומר מתקיים: $x^{n-1}\in span\left(1,\left(x-a\right),..,\left(x-a\right)^{n}\right)$. נוכיח עבור $n$: נכפיל את ההבנחה בסקלר, לכן $ax^{n-1}\in span\left(1,\left(x-a\right),..,\left(x-a\right)^{n}\right)$. ובפולינום: $\left(x-a\right)x^{n-1}\in span\left(\left(x-a\right),..,\left(x-a\right)^{n}\right)$ כפלנו צירוף ליניארי באיבר x-a. (מותר רק בשדה פולינומים, בו כפל בין וקטורים מוגדר) לפיכך $ax^{n-1},\left(x-a\right)x^{n-1}\in span\left(1,\left(x-a\right),...,\left(x-a\right)^{n}\right)$ ולכן ${\begin{cases}&ax^{n-1}\in span\left(1,\left(x-a\right),...,\left(x-a\right)^{n}\right)\\+&(x-a)x^{n-1}\in span\left(1,\left(x-a\right),...,\left(x-a\right)^{n}\right)\\&------\\&x^{n}\end{cases}}x^{n}\in span\left(1,\left(x-a\right),...,\left(x-a\right)^{n}\right)$. מכאן ש- $span(1,x,x^{2},...,x^{n})=span\left\{1,\left(x-a\right),\left(x-a\right)^{2},..,\left(x-a\right)^{n}\right\}$ פורשת: מאחר ש$\dim V=n+1$ כי $dim\left|\left\{1,\left(x-a\right),...,\left(x-a\right)^{n}\right\}\right|+1=n+1$ אז $\left\{1,\left(x-a\right),...,\left(x-a\right)^{n}\right\}$ פורש את $V$ ומאחר שבת"ל הינו בסיס. {{{תוכן}}}

מסקנה: אם $f\in \mathbb {R} \left[x\right]_{\leq n}$ אז קיימים $c_{0},..,c_{n}\in \mathbb {R}$ כך ש $f\left(x\right)=c_{0}+c_{0}\left(x-a\right)+...+c_{n}\left(x-a\right)^{n}$.

זהו פיתוח של f לפולינום טיילור סביב a.