אלגברה לינארית/תמורה

תמורותעריכה

הגדרהעריכה

תמורה (פרמוטציה, permutation) היא פונקציה   חח"ע (חד-חד-ערכית) ועל. כלומר מתקיים ש-   גורר ש-   (חד-חד-ערכיות) ולכל   קיים j באותה קבוצה כך ש-   (על).

דוגמא:   כך ש-   זה תמורה. מצד שני,   זה לא תמורה כיון שהיא לא חח"ע (קיימים שני אברים שונים 1,2 שנשלחים לאותו אבר, 1) היא גם לא על כיון שאין אבר שהתמורה שולחת אותו ל-2.

קבוצת כל התמורות על   מסומנת ב-   (זאת אומרת ש-   זה קבוצה של פונקציות)

כתיב מחזורים וסימןעריכה

כתיב של תמורה בדרך שהראנו קודם (בדוגמה:  ) יכול להיות מאוד ארוך אם לא נמצא דרך אחרת לכתוב אותה. לכן, דרך אפשרית לכתוב תמורה זה בעזרת "מחזורים" (או "עגילים"). לדוגמה, ניקח את   כך ש-   . נסמן את התמורה הזאת באופן הבא:   המחזור הראשון אומר ש-1 נשלח ל-2 (כי  ), אחריו מגיע 2 שנשלח ל-4 ואז 4 נשלח חזרה ל-1 המחזור השני אומר ש-3 נשלח לעצמו.

  • מחזור בן אבר אחד (שאומר בעצם שאבר מסוים נשלח לעצמו) לא נהוג לכתוב. בעצם התמורה   היינו אמורים לסמן   ואז כיון שלא נראה פה 3 נוכל להסיק שהוא נשלח לעצמו פשוט.
  • תמורה ששולחת כל אבר לעצמו חוץ משני אברים שאותם מחליפה ביניהם (לדוגמה התמורה הראשונה שעשינו בדף הזה, סיגמא, שולחת את כל האברים לעצמם חוץ מאת 1 ואת 2 שהיא מחליפה ביניהם, זאת אומרת, 1 נשלח ל-2 ו-2 נשלח ל-1), נקראת "חילוף".
  • כל תמורה היא הרכבה של חילופים (מדובר על הרכבת פונקציות). נשים לב שהתמורה   היא בעצם הרכבה של החילופים   .

מגדירים סימן של תמורה (ומסמנים  ) להיות 1 אם התמורה מורכבת ע"י מספר זוגי של חילופים ו- 1- במקרה שהתמורה מורכבת ממספר אי זוגי של חילופים.

ניתן להסיק שאם הכתיב המחזורי של תמורה מסויימת הוא רק מחזור אחד מאורך k אז   . בנוסף, נראה כי אם   מחזורים זרים (כלומר, בצורה המחזורית של כל אחד מהם לא מופיע אף איבר משותף.   ו-   הם מחזורים זרים ב-  ) אז   ולכן אפשר להסיק שאם הכתיב המחזורי של תמורה הוא כמה מחזורים באורך   אז  


- תמורה -