אלגברה מופשטת על כוס קפה/חוגים1

חוגים (Rings)

מאפיין של חוג

במתמטיקה, המאפיין (או המציין) של חוג $R$, אשר מסומן לעתים קרובות כ- $char(R)$, מוגדר כמספר הפעמים הקטן ביותר, המהווה מספר טבעי, בו משתמשים באיבר היחידה הכפלי ($1$) של החוג, כך שסכום כל האיברים הללו (סכום ה- $1$-ים) - יהיה שווה לאיבר היחידה החיבורי ($0$).

אם סכום ה- $1$-ים המחוברים אינו שווה לעולם ל- $0$, נאמר שהשדה בעל מאפיין אפס.

כלומר:
נגדיר: $n$ - מספר טבעי, המציין את המספר הקטן ביותר של פעולות חיבור של איבר היחידה הכפלי ($1$). כלומר: (מספר ה- $1$-ים הקטן ביותר (המינימלי)).
עבור פעולת החיבור הבאה, מאפיין השדה, $char(R)$, הוא מספר הפעמים $n$ (המספר המינימלי של $1$-ים) שיש לחבר, כך שסכום זה (סכום ה- $1$-ים) - יהיה שווה לאפס ($0$).

$\underbrace {1+\cdots +1} _{char(R){\text{ =n=minimal times of 1}}}=0$

מקרה זה תקף, אם קיים מספר טבעי $n$ כלשהו, המקיים את המשוואה לעיל. במקרה שלא קיים $n$ כזה, אזי $char(R)=0$ (מאפיין החוג, $char(R)$, שווה אפס ($0$)).

כמו כן, מאפיין של חוג כלשהו יכול להוות את האקספוננט של החבורה החיבורית (אדיטיבית) שלו. כלומר: המספר הטבעי $n$ הקטן ביותר (המינימלי), המקיים את פעולת החיבור הבאה:

$\underbrace {a+\cdots +a} _{char(R){\text{ =n=minimal times of a}}}=0$

עבור כל איבר $a$ השייך לחוג.

גם מקרה זה תקף, אם קיים מספר טבעי $n$ כלשהו, המקיים את המשוואה לעיל. במקרה שלא קיים $n$ כזה, אזי $char(R)=0$ (מאפיין החוג, $char(R)$, שווה אפס ($0$)).

מאפיין (אלגברה) - הערך מתוך ויקיפדיה

המאפיין (או המציין) של שדה הוא המספר הטבעי הקטן ביותר השווה לאפס בשדה. ביתר פירוט, המספרים $\ 1,1+1,1+1+1,1+1+1+1,...$ הם איברים של השדה, ויש שתי אפשרויות: או שכולם שונים זה מזה, ואז אומרים שהשדה בעל מאפיין אפס, או שלא, ואז המאפיין הוא המספר הקטן ביותר של 1-ים שיש לחבר כדי לקבל 0. במקרה זה המאפיין הוא מספר ראשוני (משום שאין מחלקי אפס בשדה).

דוגמאות

שדה המספרים הרציונליים וכל ההרחבות שלו, כמו המספרים הממשיים והמספרים המרוכבים הם בעלי מאפיין אפס. שדה סופי אינו יכול להיות בעל מאפיין אפס.

בשדה ממאפיין $\ 0<p$ מתקיים השוויון $\ (a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}$, כלומר שהעלאה בחזקת p היא איזומורפיזם מהשדה אל עצמו. הומומורפיזם זה הוא תמיד חד-חד-ערכי, ומגדיר שיכון של השדה לתוך עצמו (שהוא על אם השדה סופי, ראו האוטומורפיזם של פרובניוס).

הכללות

אפשר להגדיר מאפיין של חוג עם יחידה R באותה דרך בה מגדירים מאפיין של שדה. ההעתקה מ-$\ n$ לסכום של $\ n$ פעמים 1, מהווה הומומורפיזם מחוג השלמים ל- R, שהגרעין שלו הוא האידאל הנוצר על ידי המאפיין. לדוגמה, לכל מערכות המספרים יש מאפיין אפס.

המאפיין של תחום שלמות הוא תמיד אפס או מספר ראשוני, אבל לכל מספר טבעי n קיים חוג בעל מאפיין n: חוג המנה $\ \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$.

אפשר להגדיר מאפיין גם עבור חוג בלי יחידה: המאפיין של R הוא המספר המינימלי n כך שסכום n פעמים $\ a+a+a+...+a$ שווה לאפס עבור כל איבר בחוג. המאפיין שווה לאקספוננט של החוג כחבורה קומוטטיבית.

ראו גם

במקרים רבים מפתחים תאוריות מתמטיות תוך כדי הנחות על המאפיין של השדה. למשל, בגאומטריה אלגברית ובתחומים רבים באנליזה מקובל לעבוד מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס. התאוריה של תבניות ריבועיות מסתבכת מעט במאפיין 2. בתורת גלואה הרחבות של שדות ממאפיין אפס הן תמיד ספרביליות, בעוד שהרחבות של שדות ממאפיין חיובי אינן בהכרח כאלה (ראו הרחבות ציקליות של שדות).