גבול של פונקציה


גבול של פונקציה בנקודה עריכה

הגדרה: גבול של פונקציה בנקודה לפי קושי

תהי   פונקציה המוגדרת בסביבה נקודה של  , נאמר שהגבול של הפונקציה   כאשר   שואף ל  הוא  , אם לכל   קיים   כך שלכל   מתקיים  , ונסמן  .


דוגמא: נוכיח שמתקיים  , כאשר  . יהי  , נבחר  , לכן כאשר   מתקיים  , ולכן מתקיים  .  

הגדרת הגבול לפי היינה עריכה

הגדרה: הגדרת הגבול לפי היינה

תהי   פונקציה המוגדרת בסביבה נקודה של  , אז   אם לכל סדרה   המקיימת  , ולכל  ,  , מתקיים  .



משפט: הגדרת הגבול לפי היינה שקולה להגדרת הגבול לפי קושי הוכחה: נוכיח את הכיוון הראשון, נניח שמתקיים  , וגם שמתקיים לסדרה(כללית)  ,  , ולכל   גם  . לפי הגדרת הגבול של פונקציה לפי קושי, לכל   קיים   כך שלכל   מתקיים  , ולפי ההנחה שמתקיים  , לכל   קיים   כך שלכל   מתקיים  , לכן קיים   כך שלכל   מתקיים  , אבל אז לפי הגדרת הגבול של קושי מתקיים לכל   גם  , ולכן  . בכיוון השני, נניח שמתקיימת הגדרת הגבול לפי היינה, כלומר לכל סדרה   המקיימת  , ולכל  ,  , מתקיים  , ונניח בשלילה שמתקיים  , לכן לכל   קיים   וקיים   כך שמתקיים   אבל  , וכיוון שזה נכון לכל  , זה בהכרח נכון ל , לכן לכל   קיים   כך שמתקיים  , אבל  , לכן קיבלנו סדרה של ערכים,  , כיוון שמתקיים לכל   האי שוויון  , ושני הצדדים שואפים ל , נקבל לפי משפט הסנדוויץ שמתקיים גם  , אבל אז לפי ההנחה שלנו(היינה) מתקיים גם  , וזאת בסתירה לכך שהנחנו שלכל   מתקיים  .

 

{{{תוכן}}}

}}



משפט: יחידות הגבול, אם   וגם   אז בהכרח  .

הוכחה:

נניח שמתקיים   וגם  , אבל  , ונניח ללא הגבלת הכלליות שמתקיים  , נבחר  , אז קיימת

  כך שלכל   מתקיים  , וגם קיימת   כך שלכל   מתקיים   אבל

כיוון שמתקיים  , מתקיים גם  , ולכן נקבל שמתקיים   בסתירה, ולכן  .

 


אריתמטיקת גבולות של פונקציה בנקודה עריכה

משפט: אריתמטיקת גבולות של פונקציה בנקודה

תהיו   פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של  , כך שמתקיים  , אז מתקיים:

  •  .
  •  .
  • אם מתקיים   אז  
  •  .


הוכחה: תחילה, אם   מוגדרת בסביבת   של  , ו  מוגדרת בסביבת   של  , אז   וגם   מוגדרת בסביבת   של  .


  • נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן  , אזי לכל סדרה   שמקיימת   מתקיים גם  , ולכל סדרה   שמקיימת   מתקיים גם  , לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות:

 , ולכן  .


  • נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן  , אזי לכל סדרה   שמקיימת   מתקיים גם  , ולכל סדרה   שמקיימת   מתקיים גם  , לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות:

 , ולכן  .


  • נשתמש בהגדרת הגבול לפי היינה, נסמן  , אזי לכל סדרה   שמקיימת   מתקיים גם  , ולכל סדרה   שמקיימת   מתקיים גם  , לכן מתקיים לפי משפט האריתמטיקה של סדרות:

 , ולכן  .


  • לפי כלל הסכום שהוכחנו, וכלל הכפל, נוכל לכתוב  , ונקבל מיידית את המבוקש.



 


משפטי גבולות עריכה

משפט: משפטי גבולות

תהיו   פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של  , ונניח שהגבולות   קיימים, אז:

  1. אם קיימת סביבה נקובה של   שבה מתקיים  , אז מתקיים  .
  2. אם מתקיים   אז קיימת סביבה נקובה של   שבה מתקיים  .
  3. משפט הסנדוויץ' לפונקציות, תהיו   פונקציות, ונניח שהגבולות   קיימים ושווים זה לזה, וגם קיימת סביבה מנוקבת של   שבה מתקיים  , אז קיים גם הגבול  , ומתקיים  .


הוכחה: 1. נניח שקיימת סביבה נקובה של   שבה מתקיים  , נקרא לה  , ונסמן  , ונניח בשלילה שקיימת סביבה נקובה שבה מתקיים  , נסמן אותה  .

לפי הגדרת הגבול, קיים   כך שלכל   מתקיים  , וגם קיים   כך שלכל   מתקיים  , נבחר  , ולכן מתקיימים כל התנאים, אבל גם מתקיים  ,

ומטרנזיטיביות היחס   נקבל שמתקיים  , בסתירה לכך שבסביבה שבחרנו מתקיים  , קיבלנו סתירה ולכן בהכרח מתקיים  .

(1) כיוון שהנחנו שמתקיים  , כלומר  .  


2. נניח שמתקיים  , לכן לפי הגדרת הגבול קיים   כך שלכל   מתקיים  , וגם קיים

  כך שלכל  , מתקיים  , נבחר  , לכן מתקיימים שני התנאים, ומתקיים  , ומטרנזיטיביות היחס   נקבל שמתקיים  

(1) כיוון שהנחנו שמתקיים  , כלומר  .  


3. נסמן  , נשתמש בהגדרת היינה לגבול של פונקציה בנקודה. תהי   סדרה המקיימת  , לכן לפי ההנחה מתקיים  , ולפי ההנחה שלנו, קיים   כך שלכל   מתקיים  , ולכן לפי משפט הסנדוויץ' לסדרות, מתקייים  , ולכן לפי הגדרת היינה מתקיים  .



 



גבולות חד-צדדיים עריכה

הגדרה: גבולות חד-צדדיים של פונקציה

תהי   פונקציה נאמר ש  הוא הגבול מימין של   ב , ונסמן  , אם לכל   קיים   כך שלכל   מתקיים  , ונאמר ש  הוא הגבול משמאל של   ב , ונסמן  , אם לכל   קיים   כך שלכל   מתקיים  

.


הגדרה: הגדרת הגבולות החד-צדדיים לפי היינה

עבור פונקציה   שמוגדרת בסביבה הימנית של  , נאמר שמתקיים   אם ורק אם לכל סדרה   המקיימת   וגם   לכל  , אז  , ונאמר שמתקיים   אם ורק אם לכל סדרה   המקיימת   וגם   לכל  , אז  .



משפט: תהי   פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של  , אז מתקיים   אם ורק אם הגבולות החד-צדדיים שלה קיימים ושווים, כלומר  

הוכחה:

תהי   פונקציה המוגדרת בסביבה מנוקבת של  , נוכיח תחילה את הכיוון הראשון.

נניח שהגבולות החד=צדדיים קיימים ושווים זה לזה, כלומר  .

יהי  , לכן לפי ההנחה שקיים הגבול הימני, קיים   כך שלכל   מתקיים  , ולפי ההנחה שקיים הגבול השמאלי, קיים   כך שלכל   מתקיים  , נבחר  , לכן לכל   מתקיים  , וזו בדיוק הגדרת הגבול לפי קושי, לכן  .


בכיוון השני, נניח שמתקיים  , ונוכיח שהגבולות החד-צדדיים קיימים גם הם, ושווים זה לזה.

לפי ההנחה שמתקיים  , לכל   קיים   כך שלכל   מתקיים  , אבל כיוון שזה מתקיים לכל  , זה בוודאי יתקיים גם לכל  , וגם לכל  , וזו הגדרת הגבול החד-צדדי של פונקציה בנקודה, ולכן הגבולות החד-צדדיים קיימים ושווים זה לזה, כלומר  .  .


גבול אינסופי בנקודה עריכה

הגדרה: גבול אינסופי של פונקציה בנקודה

תהי   פונקציה המוגדרת בסביבה נקובה של  , נאמר שהפונקציה שואפת לאינסוף כאשר איקס שואף ל , אם לכל   קיים   כך שלכל   מתקיים  , ונאמר שהפונקציה שואפת למינוס אינסוף כאשר איקס שואף ל , אם לכל   קיים   כך שלכל   מתקיים  .

הערה: קיימת הגדרה גם לגבולות חד-צדדיים אינסופיים בנקודה, והיא זהה לאחת שהגדרתי מקודם.


דוגמא: נוכיח שמתקיים  . יהי  , נבחר  , ולכל  , מתקיים  ,ולכן מטרנזיטיביות היחס    .

1. כיוון שאנחנו מדברים על שאיפה לאינסוף נוכל לדבר על איקסים חיוביים, אם מתקיים  , נוכל לבחור  , ולכן לכל  , מתקיים  , ולכן מטרנזיטיביות היחס    .


הגדרה: גבול אינסופי בנקודה לפי היינה

תהי   פונקציה, אז מתקיים   אם לכל סדרה   המקיימת   מתקיים  .

הערה: קיימת הגדרה גם לגבולות חד-צדדיים אינסופיים בנקודה לפי היינה, והם זהים לאלו שהגדרתי מקודם.

אריתמטיקה של גבולות אינסופיים בנקודה עריכה

משפט: אריתמטיקה של גבולות אינסופיים בנקודה

תהיו   פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה של  , אז מתקיים:

  • אם   וגם   אז  .
  • אם   וגם   אז  .
  • אם   וגם   אז  .
  • אם   וגם   אז  .


  • אם   אז  .
  • אם   וגם   בסביבה נקובה של  , אז  , ואם   וגם   בסביבה נקובה של  , אז  
  •   אם ורק אם  .


הוכחה: הוכחת המשפט נובעת בקלות מהגדרת היינה לגבול אינסופי בנקודה, להלן: תהיו   פונקציות.

  • נניח שמתקיים   וגם  , ותהי סדרה   המקיימת  , לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות(שכבר הוכחנו) מתקיים  , ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים  .  
  • נניח שמתקיים   וגם  , תהי סדרה   המקיימת   וסדרה   המקיימת \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים  , ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים  .  
  • נניח שמתקיים   וגם  , תהי סדרה   המקיימת  , לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים  , ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים  .  
  • נניח שמתקיים   וגם  , תהי סדרה   המקיימת   וסדרה   המקיימת \underset{n\to \infty}{\lim}y_n=a, לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים  , ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים  .  
  • נניח שמתקיים  , תהי סדרה   המקיימת  , לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים  ,ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים  .  
  • נוכיח את המשפט למקרה שבו  , בסביבה נקובה של  , ההוכחה למקרה שבו   בסביבה נקובה של   אנלוגית לחלוטין.

נניח שמתקיים  , תהי סדרה   המקיימת  , לכן לפי הגדרת היינה לגבולות אינסופיים בנקודה, ולפי אריתמטיקה של סדרות מתקיים  ,ומכיוון שזה מתקיים לסדרה כללית, ולכן לכל סדרה, מתקיים  .  

  • בכיוון הראשון נניח שמתקיים  , לכן לכל   קיים   כך שלכל   מתקיים  , לכן לכל  , נבחר  , וכיוון שמתקיים  , כלומר  , אזי   ולכן לפי הגדרת גבול אינסופי בנקודה מתקיים  .  

בכיוון השני נניח שמתקיים  , לכן לכל   קיים   כך שלכל   מתקיים  , לכן לכל  , נבחר  , וכיוון שמתקיים  , כלומר  , אזי   ולכן לפי הגדרת גבול אינסופי בנקודה מתקיים  .  


גבול סופי באינסוף, וגבול אינסופי באינסוף עריכה

הגדרה: גבול סופי באינסוף

תהי   פונקציה המוגדרת בקטע אינסופי מהצורה  , נאמר ש  שואפת ל  כאשר   שואף ל ,ונסמן   אם לכל   קיים   כך שלכל   מתקיים  .


הגדרה: גבול אינסופי באינסוף

תהי   פונקציה המוגדרת בקטע אינסופי מהצורה  ,נאמר ש  שואפת לאינסוף כאשר   שואף לאינסוף, ונסמן   אם לכל   קיים   כך שלכל   מתקיים  .