הוכחות מתמטיות/אלגברה לינארית/מרחבים וקטוריים, בסיס וממד

משפט הממדים לתתי-מרחבים

עריכה

אם   הנם תתי-מרחבים של מרחב וקטורי   , אזי מתקיים

 


הוכחה

נסמן

 

ונוכיח כי   .


יהי   בסיס לחיתוך. מעצם הגדרת החיתוך, אברי הבסיס הם בלתי-תלויים לינארית הן ב-  והן ב-  .

נשלים קבוצה זו לבסיסים של   ושל   בהתאמה:

 

נסמן ב-  את האיחוד של שתי הקבוצות הנ"ל. מספר האברים ב-  הוא   . לכן נותר רק להוכיח כי   היא בסיס למרחב הסכום.

מהגדרת בסיס, יש להוכיח כי   קבוצה פורשת ובלתי-תלויה לינארית. תחילה נראה כי היא פורשת.

אברים בתת-המרחב   הם כולם מהצורה   , כאשר   , מעצם הגדרת מרחב הסכום.

  הוא צירוף לינארי של   שכן זהו הבסיס שמצאנו עבור   .

  הוא צירוף לינארי של   שכן זהו הבסיס שמצאנו עבור   .

לפיכך,   הוא צירוף לינארי של אברי   . לכן   קבוצה פורשת.

כעת נוכיח כי   בלתי-תלויה לינארית. מעצם הגדרת אי-תלות לינארית, עלינו להוכיח כי הפתרון היחיד למשוואה

 

הוא   .


לאחר העברת אגפים נקבל כי:

 

האגף השמאלי הוא צירוף לינארי של אברי בסיס של   , לכן הוא שייך ל-  .

האגף הימני הוא צירוף לינארי של אברי בסיס של   ולכן הוא שייך ל-  .

לכן כל אחד מהאגפים שייך לחיתוך   . לכן ניתן לכתוב את האגף השמאלי כצירוף לינארי של אברי הבסיס של החיתוך.

 

נעביר אגפים ונקבל:

 

קיבלנו צירוף לינארי של אברי הבסיס של   ומכיון שאברי בסיס הם בלתי-תלויים לינארית מעצם הגדרתו, נובע מכך כי   .

נציב זאת לצירוף הלינארי של אברי   אשר התחלנו ממנו ונקבל:

 

זהו צירוף לינארי של אברי הבסיס של   , לכן   .