אם הנם תתי-מרחבים של מרחב וקטורי , אזי מתקיים
-
- הוכחה
נסמן
-
ונוכיח כי .
יהי בסיס לחיתוך. מעצם הגדרת החיתוך, אברי הבסיס הם בלתי-תלויים לינארית הן ב- והן ב- .
נשלים קבוצה זו לבסיסים של ושל בהתאמה:
נסמן ב- את האיחוד של שתי הקבוצות הנ"ל. מספר האברים ב- הוא . לכן נותר רק להוכיח כי היא בסיס למרחב הסכום.
מהגדרת בסיס, יש להוכיח כי קבוצה פורשת ובלתי-תלויה לינארית. תחילה נראה כי היא פורשת.
אברים בתת-המרחב הם כולם מהצורה , כאשר , מעצם הגדרת מרחב הסכום.
הוא צירוף לינארי של שכן זהו הבסיס שמצאנו עבור .
הוא צירוף לינארי של שכן זהו הבסיס שמצאנו עבור .
לפיכך, הוא צירוף לינארי של אברי . לכן קבוצה פורשת.
כעת נוכיח כי בלתי-תלויה לינארית. מעצם הגדרת אי-תלות לינארית, עלינו להוכיח כי הפתרון היחיד למשוואה
הוא .
לאחר העברת אגפים נקבל כי:
האגף השמאלי הוא צירוף לינארי של אברי בסיס של , לכן הוא שייך ל- .
האגף הימני הוא צירוף לינארי של אברי בסיס של ולכן הוא שייך ל- .
לכן כל אחד מהאגפים שייך לחיתוך . לכן ניתן לכתוב את האגף השמאלי כצירוף לינארי של אברי הבסיס של החיתוך.
נעביר אגפים ונקבל:
קיבלנו צירוף לינארי של אברי הבסיס של ומכיון שאברי בסיס הם בלתי-תלויים לינארית מעצם הגדרתו, נובע מכך כי .
נציב זאת לצירוף הלינארי של אברי אשר התחלנו ממנו ונקבל:
זהו צירוף לינארי של אברי הבסיס של , לכן .