הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/שיטות אינטגרציה/המשפט היסודי של החדו"א

משפט

תהי $f(x)$ פונקציה רציפה בקטע $[a,b]$ ותהי $F(x)$ מוגדרת $F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(u)du$ .

אזי $F(x)$ גזירה בקטע $(a,b)$ ומתקיים $F'(x)=f(x)$ לכל $x\in (a,b)$ .

הוכחה

נבחר נקודה כללית $x_{0}\in [a,b]$ . נתון כי $F(x_{0})=\int \limits _{a}^{x_{0}}f(u)du$ וכמו כן, $${\begin{aligned}F(x_{0}+h)&=\int \limits _{a}^{x_{0}+h}f(u)du=\int \limits _{a}^{x_{0}}f(u)du+\int \limits _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(u)du\\F(x_{0}+h)-F(x_{0})&=\left(\int \limits _{a}^{x_{0}}f(u)du+\int \limits _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(u)du\right)-\int \limits _{a}^{x_{0}}f(u)du=\int \limits _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(u)du\\&\lim _{h\to 0}{\dfrac {F(x_{0}+h)-F(x_{0})}{h}}=\lim _{h\to 0}{\dfrac {1}{h}}\cdot \int \limits _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(u)du\end{aligned}}$$

לפי משפט ערך הביניים האינטגרלי, לפונקציה $f(x)$ קיימת נקודה $x_{h}\in (x_{0},x_{0}+h)$ המקיימת $\int \limits _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(u)du=f(x_{h})\cdot h$ .

לכן

$$\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\cdot \int \limits _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(u)du=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{h})\cdot h}{h}}=\lim _{h\to 0}f(x_{h})$$

כיון ש־$x_{h}\in (x_{0},x_{0}+h)$ אז מתקיים לפי כלל הסנדוויץ' $\lim _{h\to 0}x_{h}=x_{0}$ , וכיון ש־$f(x)$ רציפה מתקבל: $\lim _{h\to 0}f(x_{h})=\lim _{x_{h}\to x_{0}}f(x_{h})=f(x_{0})$ .

לכן $F'(x_{0})=f(x_{0})$ . כיון ש־$x_{0}\in [a,b]$ היא נקודה כללית בקטע אז הטענה נכונה לכל $x\in (a,b)$ .

$\blacksquare$