הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/אדיטיביות האינטגרל המסוים

משפט

אם $f$ אינטגרבילית בקטע $[a,b]$ ואם $c\in (a,b)$ אז $f$ אינטגרבילית בקטעים $[a,b],[a,c]$ ומתקיים $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx$ .

הוכחה

הפונקציה אינטגרבילית בקטע $[a,b]$ ולכן היא אינטגרבילית בכל קטע חלקי.

כלומר קיימים שלושת האינטגרלים $\int \limits _{a}^{b},\int \limits _{a}^{c},\int \limits _{b}^{c}$

יהי $\varepsilon >0$ .

לקטע $[a,c]$ קיימת חלוקה $P_{1}$ עבורה $S(P_{1})-s(P_{1})<{\frac {\varepsilon }{2}}$ , וברור שמתקיים $s(P_{1})\leq \int \limits _{a}^{c}f(x)dx\leq S(P_{1})$ .

קיימת גם חלוקה $P_{2}$ של הקטע $[c,b]$ עבורה $S(P_{2})-s(P_{2})<{\frac {\varepsilon }{2}}$ , וברור גם כי $s(P_{2})\leq \int \limits _{c}^{b}f(x)dx\leq S(P_{2})$ .

תהי $P=P_{1}\cup P_{2}$ שהיא חלוקה של הקטע $[a,b]$ כולו. עבורה מתקיים

${\begin{aligned}S(P)&=S(P_{1})+S(P_{2})\\s(P)&=s(P_{1})+s(P_{2})\end{aligned}}$

ונקבל כי

$$s(P)=s(P_{1})+s(P_{2})\ {\color {red}\leq }\ \int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx\ {\color {red}\leq }\ S(P_{1})+S(P_{2})=S(P)$$

ולכן $s(P)\leq \int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx\leq S(P)$

ונקבל כי $S(P)-s(P)<\varepsilon$ .

ברור כי $s(P)\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq S(P)$ , ולכן נובע כי הן הסכום $\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx$ והן הסכום $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ נמצאים בקטע ${\Big [}s(P),S(P){\Big ]}$ ולכן המרחק ביניהם קטן מאורך הקטע, שהוא קטן מ־$\varepsilon$ .

$$\left|\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx-\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\right|<\varepsilon$$

לפיכך $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx$ .

$\blacksquare$