- משפט
אם
אינטגרבילית בקטע
ואם
אז
אינטגרבילית בקטעים
ומתקיים
.
- הוכחה
הפונקציה אינטגרבילית בקטע
ולכן היא אינטגרבילית בכל קטע חלקי.
כלומר קיימים שלושת האינטגרלים
יהי
.
לקטע
קיימת חלוקה
עבורה
, וברור שמתקיים
.
קיימת גם חלוקה
של הקטע
עבורה
, וברור גם כי
.
תהי
שהיא חלוקה של הקטע
כולו.
עבורה מתקיים
![{\displaystyle {\begin{aligned}S(P)&=S(P_{1})+S(P_{2})\\s(P)&=s(P_{1})+s(P_{2})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535fd9d566c832a6dd5918f233f24304b66904e0)
ונקבל כי
![{\displaystyle s(P)=s(P_{1})+s(P_{2})\ {\color {red}\leq }\ \int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx\ {\color {red}\leq }\ S(P_{1})+S(P_{2})=S(P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3f9c0c87d2f8f38da3ae3df022a61ede6e4d3c)
ולכן
ונקבל כי
.
ברור כי
, ולכן נובע כי הן הסכום
והן הסכום
נמצאים בקטע
ולכן המרחק ביניהם קטן מאורך הקטע, שהוא קטן מ־
.
![{\displaystyle \left|\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx-\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\right|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa19ef75c7792b90cb429ec018d0d7379bb49f3d)
לפיכך
.