הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/אי-שוויון המשולש האינטגרלי

משפט

תהי $f$ פונקציה אינטגרבילית בקטע $[a,b]$ . אזי מתקיים ${\bigg |}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx{\bigg |}\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx$ .

הערה: ניתן להוכיח כי אם $f$ אינטגרבילית בקטע $[a,b]$ , אז גם $|f|$ אינטגרבילית שם.

הוכחה

לכל $x\in [a,b]$ מתקיים $-{\bigl |}f(x){\bigr |}\leq f(x)\leq {\bigl |}f(x){\bigr |}$

ומתכונת המונוטוניות של האינטגרל נסיק

${\begin{aligned}\int \limits _{a}^{b}-{\bigl |}f(x){\bigr |}dx\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx\\-\int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx\end{aligned}}$

ולכן ${\bigg |}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx{\bigg |}\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}f(x){\bigr |}dx$ .

$\blacksquare$