הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/מונוטוניות האינטגרל המסוים

משפט

אם $f,g$ אינטגרביליות בקטע $[a,b]$ ואם $f(x)\leq g(x)$ לכל $x$ בקטע, אזי $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}g(x)dx$ .

הוכחה

תהי $P={x_{0},\ldots ,x_{n}}$ חלוקה כלשהי של $[a,b]$ .

לכל $x\in \Delta x_{k}=[x_{k-1},x_{k}]$ מתקיים $f(x)\leq g(x)$ , ולכן גם $\sup f(\Delta x_{k})\leq \sup g(\Delta x_{k})$ .

או בסימון אחר:

$M_{k}(f)\leq M_{k}(g)$

כאשר $M_{k}(f)$ הוא החסם העליון של $f$ בקטע $\Delta x_{k}$ , ובהתאם מוגדר $M_{k}g(x)$ .

לפיכך גם $S_{f}(P)\leq S_{g}(P)$ כאשר $S_{f}(P)$ הוא הסכום העליון של $f$ לגבי החלוקה הנתונה ובהתאמה גם ל־$g$ .

אי־השוויון האחרון נכון לכל חלוקה $P$ של הקטע $[a,b]$ , ולכן מתקיים גם $\inf {\bigl \{}S_{f}(P):P\in \wp {\bigr \}}\leq \inf {\bigl \{}S_{g}(P):P\in \wp {\bigr \}}$ .

כלומר $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}g(x)$ .

$\blacksquare$