הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/אריתמטיקה של גבולות סופיים

גבול של סכום סדרות

עריכה
משפט

תהיינה   סדרות המקיימות   כשהגבולות סופיים.

אזי   .

הוכחה

עלינו להוכיח כי לכל   קיים   כך שלכל   מתקיים   .

קיים   כך שלכל   מתקיים   .

קיים   כך שלכל   מתקיים   .

נסמן   . כעת לכל   מתקיים לפי אי־שוויון המשולש:

 

 

הערות להוכחה:

  • בהוכחה זו, הכל היה נתון לנו בצורה מתמטית. פעמים רבות ניתקל בהוכחות המנוסחות בצורה מילולית, ויהא עלינו לכתוב אותן בצורה מתמטית.
  • הערה נוספת בהקשר זה: כשכל הנתונים מוצגים בצורה מתמטית, עלינו לוודא שאנו מבינים היטב את משמעותם. למשל, במקרה זה כתוב בעצם
"נתונות הסדרות   המתכנסות לגבולות   בהתאמה". חשוב להבין את הנתון גם מבחינה רעיונית.

גבול של מכפלת סדרות

עריכה
משפט

תהיינה   סדרות המקיימות   כשהגבולות סופיים.

אזי  

הוכחה

יהי   . עלינו להוכיח כי לכל   קיים   כך שלכל   מתקיים   .

 

  מתכנסת ולכן חסומה, לכן קיים   כלשהו כך שלכל   מתקיימים בו זמנית המקרים   וגם   .

קיים   כך שלכל   שמתקיים   .

קיים   כך שלכל   שמתקיים   .

נסמן   . לפיכך,