הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/אריתמטיקה של גבולות סופיים

גבול של סכום סדרות

משפט

תהיינה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרות המקיימות $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A,\lim _{n\to \infty }b_{n}=B$ כשהגבולות סופיים.

אזי $\lim _{n\to \infty }{\Big [}a_{n}\pm b_{n}{\Big ]}=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}=A\pm B$ .

הוכחה

עלינו להוכיח כי לכל $\varepsilon >0$ קיים $k\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>k$ מתקיים ${\Big |}(a_{n}\pm b_{n})-(A\pm B){\Big |}<\varepsilon$ .

קיים $k_{1}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>k_{1}$ מתקיים $|a_{n}-A|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ .

קיים $k_{2}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>k_{2}$ מתקיים $|b_{n}-B|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ .

נסמן $k=\max\{k_{1},k_{2}\}$ . כעת לכל $n>k$ מתקיים לפי אי־שוויון המשולש:

$${\Big |}(a_{n}\pm b_{n})-(A\pm B){\Big |}={\Big |}a_{n}-A\pm b_{n}\mp B{\Big |}\ {\color {red}\leq }\ |a_{n}-A|+|b_{n}-B|\ {\color {red}<}\ {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$$

$\blacksquare$

הערות להוכחה:

• בהוכחה זו, הכל היה נתון לנו בצורה מתמטית. פעמים רבות ניתקל בהוכחות המנוסחות בצורה מילולית, ויהא עלינו לכתוב אותן בצורה מתמטית.
• הערה נוספת בהקשר זה: כשכל הנתונים מוצגים בצורה מתמטית, עלינו לוודא שאנו מבינים היטב את משמעותם. למשל, במקרה זה כתוב בעצם

"נתונות הסדרות $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ המתכנסות לגבולות $A,B$ בהתאמה". חשוב להבין את הנתון גם מבחינה רעיונית.

גבול של מכפלת סדרות

משפט

תהיינה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרות המקיימות $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A,\lim _{n\to \infty }b_{n}=B$ כשהגבולות סופיים.

אזי $\lim _{n\to \infty }{\Big [}a_{n}\cdot b_{n}{\Big ]}=\lim _{n\to \infty }a_{n}\cdot \lim _{n\to \infty }b_{n}=A\cdot B$

הוכחה

יהי $\varepsilon >0$ . עלינו להוכיח כי לכל $\varepsilon >0$ קיים $k\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>k$ מתקיים ${\Big |}a_{n}\!\cdot \!b_{n}-A\!\cdot \!B{\Big |}<\varepsilon$ .

$${\begin{matrix}{\bigl |}a_{n}\!\cdot \!b_{n}-A\!\cdot \!B{\bigr |}={\Big |}a_{n}\!\cdot \!b_{n}-A\!\cdot \!b_{n}+A\!\cdot \!b_{n}-A\!\cdot \!B{\Big |}={\Big |}b_{n}(a_{n}-A)+A(b_{n}-B){\Big |}\\{\color {red}\leq }\ {\bigl |}b_{n}(a_{n}-A){\bigr |}+{\bigl |}A(b_{n}-B){\bigr |}=|b_{n}|\!\cdot \!|a_{n}-A|+|A|\!\cdot \!|b_{n}-B|\end{matrix}}$$

$\{b_{n}\}$ מתכנסת ולכן חסומה, לכן קיים $M>0$ כלשהו כך שלכל $n$ מתקיימים בו זמנית המקרים $|b_{n}|<M$ וגם $|A|<M$ .

קיים $k_{1}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>k_{1}$ שמתקיים $|a_{n}-A|<{\frac {\varepsilon }{2M}}$ .

קיים $k_{2}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>k_{2}$ שמתקיים $|b_{n}-B|<{\frac {\varepsilon }{2M}}$ .

נסמן $k=\max\{k_{1},k_{2}\}$ . לפיכך,

$${\Big |}a_{n}\!\cdot \!b_{n}-A\!\cdot \!B{\Big |}\ {\color {red}\leq }\ |b_{n}|\!\cdot \!|a_{n}-A|+|A|\!\cdot \!|b_{n}-B|\ {\color {red}<}\ M|a_{n}-A|+M|b_{n}-B|\ {\color {red}<}\ M\cdot {\frac {\varepsilon }{2M}}+M\cdot {\frac {\varepsilon }{2M}}=\varepsilon$$

$\blacksquare$