הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/הקשר בין התכנסות סדרה ותת-הסדרות שלה

משפט

תהי סדרה. אם ורק אם כל תת־סדרה של מתכנסת ל־ .

הוכחה

נניח כי . אזי לכל קיים כך שלכל מתקיים .

ניקח תת־סדרה שרירותית ונראה כי היא מתכנסת ל־ . מתקיים (הוכחה לכך מובאת בסוף העמוד), אזי עבור מתקיים כי ולכן נקבל כי .

לכן .


כדי להוכיח את הכיוון ההפוך, נשים לב כי היא תת־סדרה של עצמה המתכנסת ל־ ולכן זה טריוויאלי שמתקיים .


למת עזר

תהי תת־סדרה של . אזי לכל .

הוכחה

נוכיח באינדוקציה. בבירור .

נניח כי ונוכיח כי .

נשים לב כי סדרה מונוטונית עולה ממש (בבניית תת־סדרה, איננו לוקחים אברים מהסדרה המקורית בסדר הפוך לסדר בו הופיעו ואיננו לוקחים אבר כלשהו פעמיים), לכן .

כלומר ולכן .