הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/התכנסות סדרה גוררת חסימות

משפט

אם סדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת לגבול סופי, אז הסדרה חסומה.

הוכחה

נסמן $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ .

מכאן לפי הגדרת הגבול קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים

$L-c<a_{n}<L+c$

עבור $c>0$ כלשהו.

קבוצת אברי הסדרה המקיימים $n\leq N$ היא קבוצה סופית של מספרים ממשיים ולכן חסומה. נסמן ב- $M$ חסם כלשהו שלה, כלומר:

$-M<a_{n}<M$

קבוצת אברי הסדרה כולה היא איחוד הקבוצה הראשונה והשניה, לכן היא חסומה מלמעלה על-ידי המקסימום של החסמים העליונים של שתי הקבוצות, וחסומה מלמטה על-ידי המינימום של החסמים התחתונים של שתי הקבוצות, כלומר:

$(\forall n\in \mathbb {N} )\qquad \min\{-M,L-c\}<a_{n}<\max\{M,L+c\}$

מסקנה: הסדרה $\{a_{n}\}$ חסומה. מ.ש.ל