הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/משפט בולצאנו-ויירשטראס

משפט

לכל סדרה חסומה קיימת תת-סדרה מתכנסת. יתר על כן, הדבר נכון לכל סדרה ב- $\mathbb {R} ^{n}$ .

הוכחה

נציג שתי הוכחות שונות עבור סדרה ב- $\mathbb {R}$ . ההוכחה השניה קצרה משמעותית ופשוטה יותר אך בעייתית להכללה עבור $\mathbb {R} ^{n}$ . ההוכחה הראשונה ניתנת להכללה ל- $\mathbb {R} ^{n}$ בקלות באמצעות אינדוקציה מתמטית.

הוכחה באמצעות הלמה של קנטור

תהא $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה חסומה, אז קיים $M>0$ כך ש- $\forall n:x_{n}\in [-M,M]$ . נסמן $a_{0}=-M,b_{0}=M$ .

כעת, נחצה את הקטע לשניים, כלומר נביט בשני הקטעים הסגורים $\left[a_{0},{\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}\right],\left[{\frac {a_{0}+b_{0}}{2}},b_{0}\right]$ .

בהכרח יש אינסוף אברי הסדרה לפחות באחד משני הקטעים הללו, כי אם בשניהם היה מספר סופי של אברי הסדרה, בכל הסדרה היה מספר סופי של אברים.

נבחר את הקטע הזה ונסמן אותו בתור $[a_{1},b_{1}]$ . כעת נוכל לחלק גם את הקטע $[a_{1},b_{1}]$ באותו אופן, וכן הלאה.

נמשיך בתהליך הבניה הזה בצורה אינדוקטיבית, ונקבל סדרה של קטעים $[a_{k},b_{k}]$ המקיימת את התכונות הבאות:

1. כל הקטעים סגורים.
2. כל קטע מוכל בקטעים הקודמים לו.
3. אורכם של הקטעים שואף לאפס.
4. כל קטע מכיל אינסוף נקודות של $x_{n}$ .

כל התכונות פרט לשלישית נובעות ישירות מדרך בניית הקטעים. כדי להיווכח בשלישית נשים לב כי מכיון שכל קטע הוא חצי מהקטע הקודם לו, הרי שהנוסחא הכללית לאורכם של הקטעים

היא ${\frac {M}{2^{k-1}}}$ עבור קטע מספר $k$ - וזוהי סדרה ששואפת לאפס.

אם כן, כל תנאי הלמה של קנטור מתקיימים, ולכן קיימת נקודה יחידה $c$ כך ש- $\bigcap _{k=0}^{\infty }[a_{k},b_{k}]=\{c\}$ . נקודה זו תשמש בתור הגבול של תת-הסדרה שאנו מבקשים לבנות.

נבנה את תת-הסדרה שלנו על-ידי בחירת אבר אחד $y_{k}$ של הסדרה המקורית מכל קטע $[a_{k},b_{k}]$ , כך שהאינדקס שלה בסדרה המקורית יהיה גדול מהאינדקס של כל הנקודות שבחרנו עד עתה. ניתן לעשות זאת בשל התכונה הרביעית של הקטעים, לפיה בכל קטע יש מספר אינסופי של אברי הסדרה, ולכן בפרט אפשר למצוא כזה שהאינדקס שלו גדול מהמקסימום (הסופי) של אינדקסי האברים שנבחרו עד עתה.

כעת, נשים לב כי בהינתן קטע $[a_{k},b_{k}]$ הוא מכיל את כל האברים מתת-הסדרה החל מהמקום ה- $k$ ואילך (כי כולם שייכים לקטעים שמוכלים בו). כמו כן, המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות השייכות לקטע זה אינו עולה על אורך הקטע, ${\frac {M}{2^{k-1}}}$ . לכן המרחק בין כל נקודות תת-הסדרה החל מהמקום ה- $k$ ואילך מהנקודה $c$ אינו עולה על ${\frac {M}{2^{k-1}}}$ , ומספר זה שואף לאפס. לכן תת-הסדרה שבנינו שואפת ל- $c$ , ובכך הושלמה ההוכחה. $\blacksquare$

הוכחה באמצעות המשפט על קיום תת-סדרה מונוטונית

ידוע כי לכל סדרה קיימת תת-סדרה מונוטונית. נשים לב שמכיון שתת-סדרה זו היא תת-סדרה של סדרה חסומה, היא חסומה בעצמה. סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת, לפיכך תת-סדרה זו היא תת-סדרה מתכנסת. $\blacksquare$