הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/משפט שטולץ
- משפט (שטולץ / שטולץ־צ'זארו)
תהי סדרה כלשהי, ותהי סדרה מונוטונית עולה ממש ומקיימת .
אם במובן הרחב, אזי גם .
- הוכחה
לפי הגדרת הגבול, לכל קיים כך שלכל מתקיים:
סדרה מונוטונית עולה ממש, לכן או וניתן להכפיל בו את אי־השוויון. נקבל:
יהי המקיים . סכימת אי־השוויון לעיל תיתן לנו את אי־השוויון הבא:
נחלק את אי־השוויון ב־ ונקבל:
, לכן קיים המקיים כך שיתקיים:
לכן .
הערה: כפי שניתן לראות בבירור מההוכחה, מספיק שהסדרה תהיה חיובית ומונוטונית עולה רק החל ממקום מסוים בסדרה ולאו דווקא החל מתחילתה.