הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/משפט שטולץ

משפט (שטולץ / שטולץ־צ'זארו)

תהי סדרה כלשהי, ותהי סדרה מונוטונית עולה ממש ומקיימת .

אם במובן הרחב, אזי גם .

הוכחה

לפי הגדרת הגבול, לכל קיים כך שלכל מתקיים:

סדרה מונוטונית עולה ממש, לכן או וניתן להכפיל בו את אי־השוויון. נקבל:

יהי המקיים . סכימת אי־השוויון לעיל תיתן לנו את אי־השוויון הבא:

נחלק את אי־השוויון ב־ ונקבל:

, לכן קיים המקיים כך שיתקיים:

לכן .

הערה: כפי שניתן לראות בבירור מההוכחה, מספיק שהסדרה תהיה חיובית ומונוטונית עולה רק החל ממקום מסוים בסדרה ולאו דווקא החל מתחילתה.