הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/משפט פרמה

משפט

אם $f$ פונקציה גזירה בנקודה $a$ כאשר זו נקודת מקסימום מקומי או נקודת מינימום מקומי, אזי $f'(a)=0$ .

הוכחה

נוכיח עבור מקסימום מקומי.

קיים $\delta >0$ עבורו לכל $x\in (a-\delta ,a+\delta )$ מתקיים $f(x)\leq f(a)$ . לכן $f(x)-f(a)\leq 0$ .

עבור $x<a$ בסביבה נחלק ב־$x-a<0$ ונקבל ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\geq 0$ . ממשפט המונוטוניות של גבולות נובע כי

$f'(a)=\lim _{x\to a^{-}}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\geq 0$

עבור $x>a$ בסביבה נחלק ב־$x-a>0$ ונקבל ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\leq 0$ . ממשפט המונוטוניות של גבולות נובע כי

$f'(a)=\lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\leq 0$

קיבלנו כי $0\leq f'(a)\leq 0$ , לכן $f'(a)=0$ .

$\blacksquare$

הערה: ההוכחה עבור מינימום מקומי זהה. ההבדל היחיד הוא כי בה $f(x)\geq f(a)$ , אבל עדיין הגבולות החד־צדדיים יהיו נוגדים זה לזה כמו כאן ומתקבלת המסקנה כי הנגזרת בנקודה היא 0.