הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/משפט פרמה

משפט

אם פונקציה גזירה בנקודה כאשר זו נקודת מקסימום מקומי או נקודת מינימום מקומי, אזי .

הוכחה

נוכיח עבור מקסימום מקומי.

קיים עבורו לכל מתקיים . לכן .

עבור בסביבה נחלק ב־ ונקבל . ממשפט המונוטוניות של גבולות נובע כי

עבור בסביבה נחלק ב־ ונקבל . ממשפט המונוטוניות של גבולות נובע כי

קיבלנו כי , לכן .

הערה: ההוכחה עבור מינימום מקומי זהה. ההבדל היחיד הוא כי בה , אבל עדיין הגבולות החד־צדדיים יהיו נוגדים זה לזה כמו כאן ומתקבלת המסקנה כי הנגזרת בנקודה היא 0.