הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/נגזרת פונקציה זוגית (אי-זוגית) היא פונקציה אי-זוגית (זוגית)

משפט

אם $f$ זוגית אז $f'$ אי־זוגית. באופן דומה, אם $f$ אי־זוגית אז $f'$ זוגית.

הוכחה ישירות מהגדרת הנגזרת

אם $f$ זוגית אז $f(x)=f(-x)$ . נחשב את נגזרתה בנקודה $-x$ לפי ההגדרה.

$${\begin{aligned}f'(-x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(-x+h)-f(-x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x-h)-f(x)}{h}}=-\lim _{h\to 0}{\frac {f(x-h)-f(x)}{-h}}=-\lim _{y\to 0}{\frac {f(x+y)-f(x)}{y}}=-f'(x)\end{aligned}}$$

אם $f$ אי־זוגית אז $f(x)=-f(-x)$ . נחשב את נגזרתה בנקודה $-x$ לפי ההגדרה.

$${\begin{aligned}f'(-x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(-x+h)-f(-x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {-f(x-h)+f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x-h)-f(x)}{-h}}=\lim _{y\to 0}{\frac {f(x+y)-f(x)}{y}}=f'(x)\end{aligned}}$$

$\blacksquare$

הוכחה דרך כלל השרשרת

אם $f$ זוגית אז $f(x)=f(-x)$ . נגזור לפי כלל השרשרת ונקבל $f'(x)=f'(-x)\cdot (-1)=-f'(-x)$ . לפיכך $f'$ אי־זוגית.

אם $f$ אי־זוגית אז $f(x)=-f(-x)$ . נגזור לפי כלל השרשרת ונקבל $f'(x)=-f'(-x)\cdot (-1)=f'(-x)$ . לפיכך $f'$ זוגית.

$\blacksquare$