הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/נוסחת לייבניץ לנגזרות מסדר גבוה

משפט

אם $f,g$ פונקציות גזירות $n$ פעמים, אזי: $(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}$ כאשר ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ המקדם הבינומי.

הוכחה

באינדוקציה מתמטית על $n$ . המקרה $n=1$ ניתן לאימות בקלות:

$$(f\cdot g)^{(1)}=\sum _{k=0}^{1}{\binom {1}{k}}f^{(1-k)}g^{(k)}={\binom {1}{0}}f'g+{\binom {1}{1}}fg'=f'g+fg'$$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n$ , כלומר $(f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}$ , ונוכיח נכונות עבור $n+1$ , כלומר $(f\cdot g)^{(n+1)}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}$

נשתמש בהנחת האינדוקציה וכן בכלל לנגזרת מכפלה הרגיל.

$$(f\cdot g)^{(n+1)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(f^{(n-k)}g^{(k)})'=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}$$

כעת, נשנה באופן סימבולי את הסכימה באופן הבא:

$${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\(f\cdot g)^{(n+1)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\end{aligned}}$$

נחלץ את האבר הראשון מהסכימה הראשונה ואת האבר האחרון מהסכימה השניה ונקבל:

$$(f\cdot g)^{(n+1)}=f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+fg^{(n+1)}$$

את הסכימות נאחד באופן הבא:

$$\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}=\sum _{k=1}^{n}\left[{\Big (}{\tbinom {n}{k}}+{\tbinom {n}{k-1}}{\Big )}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right]$$

נחשב את סכום מקדמי הבינום הנ"ל:

$${\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}+{\frac {n!}{(k-1)!(n+1-k)!}}={\frac {(n+1)!}{k!(n+1-k)!}}={\binom {n+1}{k}}$$

קיבלנו:

$${\begin{aligned}(f\cdot g)^{(n+1)}&=f^{(n+1)}g+\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+fg^{(n+1)}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\end{aligned}}$$