הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן האינטגרל

משפט

תהי $f$ פונקציה רציפה, חיובית ומונוטונית יורדת בקטע $[N,\infty )$ ותהי $a_{n}=f(n)$ . אזי הטור $\sum _{n=N}^{\infty }a_{n}$ מתכנס אם ורק אם האינטגרל המוכלל $\int \limits _{N}^{\infty }f(x)dx$ מתכנס.

הוכחה

המחשה גרפית לרעיון ההוכחה: שטח המלבן השמאלי התחתון הוא $a_{2}$ ושטח המלבן השמאלי העליון הוא $a_{1}$ . כך השטח תחת הפונקציה נאמד מלעיל ומלרע על־ידי שטחי מלבנים המהווים ערכי הסדרה

לצורך הנוחיות, נוכיח עבור המקרה $N=1$ , אך ההוכחה ניתנת בקלות להכללה עבור המקרה הכללי.

רעיון ההוכחה מבוסס על האופן בו הוגדרה הפונקציה $f$ . המשמעות הגראפית של ההגדרה היא שכיון שהפונקציה יורדת, ניתן לתחום מלמטה ומלמעלה את שטח הפונקציה על־ידי מלבנים שגובהם הוא ערכי הסדרה בנקודות השונות ורוחבם הוא 1, באופן דומה לשימוש בסכומי רימאן. הדבר מוביל לאי־השוויון

$\sum \limits _{k=2}^{n}a_{k}\leq \int \limits _{1}^{n}f(x)dx\leq \sum \limits _{k=1}^{n-1}a_{k}$

מקרה א

אם $\int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx$ מתכנס לגבול $M$ , מאי־השוויון הנ"ל נקבל כי

$\sum \limits _{k=2}^{n}a_{k}\leq \int \limits _{1}^{n}f(x)dx\leq \int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx$

כיון שהפונקציה חיובית בתחום זה. אזי

$S_{n}=a_{1}+\sum _{k=2}^{n}a_{k}\leq a_{1}+\int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx=a_{1}+M$

כלומר סדרת הסכומים החלקיים $S_{n}$ חסומה מלעיל על־ידי מספר סופי. כמו־כן היא מונוטונית עולה:

$S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}=S_{n}+f(n+1)\geq S_{n}$

שהרי הפונקציה חיובית. אזי $S_{n}$ מתכנסת כי היא סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס.

$\blacksquare$

אם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס לגבול $L$ , הרי שמתקיים

$\int \limits _{1}^{n}f(x)dx\leq \sum _{k=1}^{n-1}a_{k}\leq \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=L$

כיון שהפונקציה חיובית וחסומה, האינטגרל הנ"ל הוא פונקציה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל, לכן $\int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx$ מתכנס.

$\blacksquare$

מקרה ב

אם $\int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx$ מתבדר, אז $\lim _{n\to \infty }\int \limits _{1}^{n}f(x)dx=\infty$ מכיון שהפונקציה חיובית בתחום. מאי־השוויון הנ"ל מקבל כי

$\int \limits _{1}^{n}f(x)dx\leq \sum _{k=1}^{n-1}a_{k}=S_{n-1}$

לכן $S_{n-1}\to \infty$ ומהתבדרות סדרת הסכומים החלקיים נובעת התבדרות $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ .

$\blacksquare$

אם $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר, אז $\sum _{k=2}^{n}a_{k}\to \infty$ כטור חיובי. מאי־השוויון הנ"ל נקבל כי

$\sum _{k=2}^{n}a_{k}\leq \int \limits _{1}^{n}f(x)dx$

לכן $\lim _{n\to \infty }\int \limits _{1}^{n}f(x)dx=\infty$ ומכך נובע כי $\int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx$ מתבדר.

$\blacksquare$