הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן ההשוואה

משפט

יהיו טורים חיוביים. אם מתקיים לכל , אזי

  1. התכנסות גוררת את התכנסות .
  2. התבדרות גוררת את התבדרות .

הערה: קל לראות שמספיק שיתקיים רק החל ממקום מסוים בסדרה.

הוכחה
  • נסמן סדרות סכומים חלקיים .
שני הטורים חיוביים, לכן סדרות הסכומים החלקיים שלהם חיוביות ומונוטוניות עולות ().
אם מתכנס אז . נתון לכל , ולכן .
אזי מתכנסת כי היא סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל.
  • אם מתבדר אז כי חיובית ומונוטונית עולה. נתון לכל , ולכן .
לפיכך ומכך נובע כי הטור מתבדר.