הוכחות מתמטיות/לוגיקה/משפט לינדנבאום

אם $T'=<L',{\mathfrak {A'}}>$ היא תורה עקבית, אזי קיימת קבוצת אקסיומות ${\mathfrak {A''}}$ כך ש-${\mathfrak {A'}}\subseteq {\mathfrak {A''}}$ ו-$T''=<L',{\mathfrak {A''}}>$ תורה שלמה.

הוכחה

נגדיר $E$ כקבוצת כל הנוסחאות הסגורות בשפה $L'$.
נגדיר ${\mathcal {J}}=\{D\subseteq E|{\mathfrak {A'}}\cup D{\text{ is consistent}}\}$.
${\mathcal {J}}$ לא ריקה, כי ${\mathfrak {A'}}$ עקבית ולכן $\emptyset \in {\mathcal {J}}$.
${\mathcal {J}}$ היא מטיפוס סופי. זאת מפני שהיסקים הם סופיים, כלומר מסתמכים על קבוצה סופית של אקסיומות, ולכן מקבוצה ניתן להסיק סתירה אם ורק אם מכל תת-קבוצה סופית שלה ניתן להסיק סתירה.

מלמת טייכמילר-טיוקי, שמופיעה מטה, קיים איבר מקסימלי $M\in {\mathcal {J}}$.
נגדיר ${\mathfrak {A''}}={\mathfrak {A'}}\cup M$.
$T''$ עקבית מתוך הגדרת ${\mathcal {J}}$, נוכיח כי היא גם שלמה.

תהי נוסחה סגורה $A$. נראה כי $\vdash _{\mathfrak {A''}}A$ או $\vdash _{\mathfrak {A''}}\neg A$.
אם $\vdash _{\mathfrak {A''}}A$ סיימנו, כעת נניח כי $\nvdash _{\mathfrak {A''}}A$.
נניח בשלילה $\neg A\notin M$, אזי ${\mathfrak {A''}}\cup \{\neg A\}$ אינה עקבית מתוך מקסימליות $M$, כלומר, ניתן להסיק בה סתירה: $\vdash _{{\mathfrak {A''}}\cup \{\neg A\}}B\land \neg B$.
לפי משפט הדדוקציה: $\vdash _{\mathfrak {A''}}\neg A\rightarrow B\land \neg B$, אך זוהי גרירה טאוטולוגית של $\vdash _{\mathfrak {A''}}A$ בסתירה להנחה.
כלומר $\neg A\in M$, וממילא $\vdash _{\mathfrak {A''}}\neg A$ כנדרש.

למת טייכמילר-טיוקי

הגדרות

נניח ש-$E$ קבוצה, ו-${\mathcal {J}}\subseteq P(E)$ אוסף תת-קבוצות של $E$.
${\mathcal {J}}$ תיקרא מטיפוס סופי אם מתקיים $D\in {\mathcal {J}}$ אם ורק אם כל תת-קבוצה סופית $D_{0}\subseteq D$ מקיימת $D_{0}\in {\mathcal {J}}$.

למת טייכמילר-טיוקי

אם ${\mathcal {J}}$ לא ריקה מטיפוס סופי, אזי יש ${\mathcal {J}}$ איבר מקסימלי.
כלומר, קיים $M\in {\mathcal {J}}$, כך שאם $M\subseteq N\in {\mathcal {J}}$ אז $M=N$.
הערה: כדי להוכיח למה זו אנו זקוקים לאקסיומת הבחירה.