הוכחות מתמטיות/שונות/חישוב פאי

ברצוננו למצוא שיטה לחשב את הקבוע המתמטי $\pi$ בכל רמת דיוק שנרצה. נשתמש לשם כך בעובדה ששטח של מצולע חסום במעגל קטן משטח המעגל, שקטן משטח מצולע החוסם מעגל.

נגדיר מצולע משוכלל בעל n צלעות החסום במעגל. נחתוך אותו באמצעות רדיוס המעגל החוסם לn משולשים חופפים שווי שוקיים שכל זווית ראש בהם היא ${\frac {2\pi }{n}}$.

כעת נחשב את שטח המצולע ונקבל:

$n{\frac {R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}}{2}}<\pi R^{2}\Rightarrow {\frac {n}{2}}\sin {\frac {2\pi }{n}}<\pi$

כעת נגדיר מצולע חוסם ונחתוך אותו ל2n משולשים ישרי זוית חופפים שהיתר בהם הוא הרדיוס ואחד הניצבים הוא מחצית מצלע המצולע. נחשב את שטחו:

$2n{\frac {R\sin {\frac {\pi }{n}}R\cos {\frac {\pi }{n}}}{2}}=nR^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}>\pi R^{2}\Rightarrow n\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}>\pi$

קיבלנו:

${\frac {n}{2}}\sin {\frac {2\pi }{n}}<\pi <n\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}$

לכל n. הצבה של n הולך וגדל תתן לנו דיוק גדול יותר ויותר של פאי.