הוכחות מתמטיות/שונות/קיום שורש מסדר n

לכל ולכל קיים עבורו .

הוכחה

עריכה

נגדיר קבוצה  .

זו קבוצה לא־ריקה (כי  ) וחסומה מלמעלה על־ידי   (כי לכל   מתקיים  ).

לכן על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשים יש לה חסם עליון  . כעת נוכיח כי  .

  • נניח בשלילה כי  .
די למצוא   עבורו  :
 
כלומר  , אבל   ולכן  . סתירה.
  • נניח בשלילה כי  .
כ.נ.ל די למצוא   עבורו  :
 
כלומר  , אבל   ולכן  . סתירה.

לכן  .