הוכחות מתמטיות/שונות/קיום שורש ריבועי

לכל קיים עבורו .

הוכחהעריכה

נגדיר קבוצה  .

זו קבוצה לא־ריקה (כי  ) וחסומה מלמעלה על־ידי   (כי לכל   מתקיים  ).

לכן על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשים יש לה חסם עליון  . כעת נוכיח כי  .

  • נניח בשלילה כי  .
מתקיים  . נגדיר ממוצע חשבוני  . לכן  .
על־פי אי־שוויון הממוצעים מתקיים  . מזה נקבל  .
לכן  . אבל   אף שהנחנו כי   חסם עליון. סתירה!
  • נניח בשלילה כי  .
מתקיים  . לכן  .
כ.נ.ל מתקיים  . מההגדרה לכל   מתקיים  .
לכן  . כלומר   חסם מלמעלה של  , אף שהנחנו כי   חסם עליון. סתירה!

לכן  .