הוכחות מתמטיות/שונות/קיום שורש ריבועי

לכל קיים עבורו .

הוכחהעריכה

נגדיר קבוצה   .

זו קבוצה לא־ריקה (כי  ) וחסומה מלמעלה על־ידי   (כי לכל   מתקיים  ).

לכן על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשים יש לה חסם עליון   . כעת נוכיח כי   .

  • נניח בשלילה כי   .
מתקיים   . נגדיר ממוצע חשבוני   . לכן   .
על־פי אי־שוויון הממוצעים מתקיים   . מזה נקבל   .
לכן   . אבל   אף שהנחנו כי   חסם עליון. סתירה!
  • נניח בשלילה כי   .
מתקיים   . לכן   .
כ.נ.ל מתקיים   . מההגדרה לכל   מתקיים   .
לכן   . כלומר   חסם מלמעלה של   , אף שהנחנו כי   חסם עליון. סתירה!

לכן   .