הוכחות מתמטיות/שונות/שורש 2

טענה

עריכה

המספר   אינו רציונלי, כלומר   .

לשם כך ניעזר בלֶמה (משפט עזר):

למת עזר: אם n² זוגי אזי n זוגי

עריכה

הוכחת הלמה:
מכפלת מספר זוגי במספר זוגי היא זוגית, בעוד שמכפלת מספר אי־זוגי במספר אי־זוגי היא אי־זוגית, ולכן אם מכפלת מספר בעצמו היא זוגית – המספר זוגי, ולהפך.

הוכחת הטענה

עריכה

נניח בשלילה כי   , כלומר רציונלי. לכן ניתן לכתוב   עבור   שלמים זרים כלשהם.

נעלה כעת את הביטוי בריבוע ונקבל

 

לכן לפי הלמה הנ"ל נוכל לכתוב   עבור   . מכאן

 

לכן לפי הלמה הנ"ל נוכל גם לכתוב   עבור   . מכאן

 

מכאן   זוגיים בניגוד להנחה הראשונה כי שניהם זרים. סתירה!

לכן   אינו מספר רציונלי.