הוכחות מתמטיות/שונות/שורש 2

טענה

המספר ${\sqrt {2}}$ אינו רציונלי, כלומר ${\sqrt {2}}\not \in \mathbb {Q}$ .

לשם כך ניעזר בלֶמה (משפט עזר):

למת עזר: אם n² זוגי אזי n זוגי

הוכחת הלמה:
מכפלת מספר זוגי במספר זוגי היא זוגית, בעוד שמכפלת מספר אי־זוגי במספר אי־זוגי היא אי־זוגית, ולכן אם מכפלת מספר בעצמו היא זוגית – המספר זוגי, ולהפך.

הוכחת הטענה

נניח בשלילה כי ${\sqrt {2}}\in \mathbb {Q}$ , כלומר רציונלי. לכן ניתן לכתוב ${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$ עבור $m,n\in \mathbb {Z}$ שלמים זרים כלשהם.

נעלה כעת את הביטוי בריבוע ונקבל

${\begin{aligned}2=\left({\dfrac {m}{n}}\right)^{2}={\dfrac {m^{2}}{n^{2}}}\\2n^{2}=m^{2}\end{aligned}}$

לכן לפי הלמה הנ"ל נוכל לכתוב $m=2p$ עבור $p\in \mathbb {Z}$ . מכאן

${\begin{matrix}2n^{2}=(2p)^{2}\\2n^{2}=4p^{2}\\n^{2}=2p^{2}\end{matrix}}$

לכן לפי הלמה הנ"ל נוכל גם לכתוב $n=2q$ עבור $q\in \mathbb {Z}$ . מכאן

${\begin{matrix}(2q)^{2}=2p^{2}\\4q^{2}=2p^{2}\\2q^{2}=p^{2}\end{matrix}}$

מכאן $m,n$ זוגיים בניגוד להנחה הראשונה כי שניהם זרים. סתירה!

לכן ${\sqrt {2}}$ אינו מספר רציונלי.

$\blacksquare$