הוכחות מתמטיות/שונות/תחום הגדרת שורש טבעי למספר טבעי

הוא מספר שלם או אי־רציונלי לכל .

הוכחה

נניח בשלילה כי עבור מספרים זרים (שמחלקם המשותף המקסימלי הוא 1).

לפי המשפט היסודי קיים מספר ראשוני עבורו .

לפי הלמה של אוקלידס אם ראשוני מחלק מכפלה, בהכרח הוא מחלק לפחות אחד מגורמיה. לפיכך

קיבלנו וגם אף כי הנחנו תחילה שהם זרים. סתירה.