הוכחות מתמטיות/שונות/תחום הגדרת שורש טבעי למספר טבעי

${\sqrt[{n}]{a}}$ הוא מספר שלם או אי־רציונלי לכל $a,n\in \mathbb {N} _{>1}$ .

הוכחה

נניח בשלילה כי ${\sqrt[{n}]{a}}={\frac {b}{c}}$ עבור מספרים זרים $b,c\in \mathbb {N} _{>1}$ (שמחלקם המשותף המקסימלי הוא 1).

${\begin{aligned}a=\left({\frac {b}{c}}\right)^{n}={\frac {b^{n}}{c^{n}}}\\ac^{n}=b^{n}\end{aligned}}$

לפי המשפט היסודי קיים מספר ראשוני $p$ עבורו $p|c^{n}$ .

לפי הלמה של אוקלידס אם ראשוני מחלק מכפלה, בהכרח הוא מחלק לפחות אחד מגורמיה. לפיכך

$p|c^{n}\implies p|c\implies p|ac^{n}\implies p|b^{n}\implies p|b$

קיבלנו $p|b$ וגם $p|c$ אף כי הנחנו תחילה שהם זרים. סתירה.

$\blacksquare$