הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/איחוד קבוצות בנות מניה בן מניה

אם אוסף בן מניה של קבוצות סופיות או בנות מניה אז גם סופית או בת מניה.

מסקנות של משפט זה:

  • עבור אוסף סופי הטענה גם נכונה, נשלים לאוסף בן מניה על-ידי הוספת קבוצות ריקות.
  • עוצמת קבוצת המספרים האלגבריים הנה בת מניה, ובפרט בת מניה.
  • אם ו- סופיות או בנות מניה אז גם סופית או בת מניה.

הוכחה

עריכה

נגדיר   ולכל   נגדיר   .

מובן כי הקבוצות החדשות הנן עדיין סופיות או בנות מניה, זרות בזוגות, וכי מתקיים   לפי הבניה.

לכן לכל   , לפי ההגדרה, קיימת פונקצייה חח"ע   .

לכל   נגדיר   כראשוני ה-   הקטן ביותר (כלומר  ).

נגדיר פונקצייה חדשה   באופן הבא:

לכל   מתקיים   עבור   כלשהו, נגדיר:   .

  הנה בברור חח"ע, ולכן   סופית או בת מניה גם כן.