הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/למת נקודת השבת

אם והפונקצייה הינה שומרת הכלה (מונוטונית עולה), כלומר ,
אזי .

כלומר, לכל פונקצייה שומרת הכלה יש נקודת שבת.

הוכחה

עריכה

נגדיר קבוצה  . מתקיים   ומכאן  .
נסמן  . מובן כי   לפי ההגדרה.

מהגדרת  , לכל   מתקיים   ומכך ש-  שומרת הכלה נקבל  . ומכאן גם מתקבל  .
מהגדרת  , לכל   מתקיים  , ולכן גם  .
משילוב שתי התוצאות הללו נקבל  .

שוב,   שומרת הכלה ולכן  , ולכן לפי הגדרת   נקבל כי  .
מכאן נסיק כי  .

הראנו הכלה בשני הכיוונים, כלומר  , כנדרש.