חשבון/שברים/מציאת מכנה משותף

הגדרה

מכנה משותף הוא מכנה בו מתחלקים כל המכנים בתרגיל.

דוגמה 1: ${\frac {1}{3}}+{\frac {3}{5}}={\frac {\square }{15}}$ המכנה המשותף חמש עשרה ($15$) מתחלק גם במכנה שלוש ($15:3=5$) וגם במכנה חמש ($15:5=3$).

יותר ממכנה אחד

לכל תרגיל יכולים להיות יותר ממכנה משותף אחד.

דוגמה 2: ${\frac {1}{3}}+{\frac {3}{5}}={\frac {\square }{?}}$ פתרונות אפשריים: המכנה המשותף חמש עשרה ($15$) מתחלק גם במכנה שלוש ($15:3=5$) וגם במכנה חמש ($15:5=3$). המכנה המשותף שלושים ($30$) מתחלק גם במכנה שלוש ($30:3=10$) וגם במכנה חמש ($30:5=6$). המכנה המשותף ארבעים וחמש ($45$) מתחלק גם במכנה שלוש ($45:3=15$) וגם במכנה חמש ($45:5=9$). המכנה המשותף ששים ($60$) מתחלק גם במכנה שלוש ($60:3=20$) וגם במכנה חמש ($60:5=12$). וכן הלאה.

מציאת מכנה משותף באמצעות כפל

הדרך הפשוטה ביותר למצוא מכנה משותף היא באמצעות הכפלת המכנים.

דוגמה 1: ${\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}={\frac {\square }{3*4}}={\frac {\square }{12}}$

מציאת מכנה משותף הקטן ביותר

למה חשוב?

פעולת הכפל בין המכנים לא בהכרח תיתן לנו את המכנה המשותף הקטן ביותר. לדוגמה אם הינו מנסים למצוא את המכנה המשותף ל-5 ו-20 באמצעות הכפלה המכנים היינו מקבלים את המכנה המשותף 100. מנגד שני המספרים מתחלקים במספר 20 ולכן המכנה המשותף שלהם יכול להיות גם 20. כאשר אנו פותרים תרגיל במתמטיקה אנו נעדיף למצוא את המכנה המשותף הקטן ביותר בהתאם לאמרת קאלימאכוס, "μέγα βιβλίον μέγα κακόν (מספר גדול הוא צרות גדולות)"

מציאת מכנה משותף באמצעות לוח הכפל

באמצעות ידיעת לוח הכפל בעל פה. אם נדע איזה מספר מתחלק ב-20, נוכל בקלות לדעת כי המספר 5 מתחלק ב-20.

החיסרון, ידיעת לוח הכפל נוחה עד המספר 100, לאחר מכן נצטרך דרך אחרת. מנגד, ניתן לצמצם את איברי התרגיל וכך נמנע מתרגיל במספרים גדולים.

מציאת מכנה משותף באמצעות המספר הגדול

דוגמה 1: מכנה משותף של $24$ ו-$9$ $24$ לא יכול להיות מכנה משותף מפני שהמספר $9$ אינו מתחלק בו. נכפיל בשתים את המכנה הגדול $24*2=48$. גם מכנה זה לא יכול להיות מכנה משותף מפני שהמספר $9$ אינו מתחלק בו. נכפיל בשלוש את המכנה הגדול $24*3=72$. מכנה זה יכול להיות מכנה משותף מפני שהמספר $9$ מתחלק בו ($72:9=8$).

פירוק לגורמים

ניתן למצוא מכנה משותף באמצעות פירוק לגורמים. השיטה הזו פחות מומלצת מאחר ומצריכה לפעמים חישובים רבים – פעולה ממנה אנו מנסים להימנע.

דוגמה 1: מכנה משותף של $24$ ו-$9$ המספרים הראשונים של $24$: הם $3$, $2$, $2$, $2$. המספרים הראשונים של $9$: הם $3$, $3$, $2$. נכפיל את הגורמים הראשונים ונחפש כפולה בה מתחלקים המספרים. המכנה המשותף:$2*2*2*3*3=72$

דוגמה 2: מכנה משותף של $21$ ו-$12$ המספרים הראשונים של $21$: הם $3$, $7$. המספרים הראשונים של $12$: הם $3$, $2$, $2$. המכנה המשותף:$2*2*3*7=84$

דוגמה 3: המכנה המשותף הקטן ביותר של ${\frac {1}{6}}+{\frac {3}{4}}$ (כלומר של ארבע ושש) הוא $3\times 2\times 2=12$. הגורמים הראשוניים של המכנה שש הם 3 ו-2, והגורמים הראשוניים של המכנה ארבע הם 2 ו-2. במקרה זה, המכנה המשותף הוא שתיים עשרה. נרחיב את שני השברים ונמשיך את התרגיל: ${\frac {1}{6}}+{\frac {3}{4}}={\frac {1\times 2}{6\times 2}}+{\frac {3\times 3}{4\times 3}}={\frac {2}{12}}+{\frac {9}{12}}={\frac {11}{12}}$.