חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרציה/אינטגרל מוכלל

אינטגרל מוכלל (או אינטגרל לא־אמיתי) הנו הכללה של האינטגרל המסוים (רימאן) לקטעים לא־חסומים ופונקציות לא־חסומות.

דוגמא

חשב את האינטגרל $\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}$

$\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=\left[-{\frac {1}{x}}\right]_{-1}^{1}=-{\frac {1}{1}}-\left(-{\frac {1}{-1}}\right)=-2$

הסבר

מה קרה?! הרי הפונקציה ${\frac {1}{x^{2}}}$ הנה חיובית בכל תחום הגדרתה, ואינטואיטיבית היינו צריכים לקבל שטח חיובי. היכן טעינו?

טעינו בכמה דברים. הפונקציה לא־רציפה בקטע $[-1,1]$ וגם הגבול $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}$ לא קיים, כלומר הפונקציה אינה חסומה.

אינטגרלים מוכללים בקטעים לא-חסומים

תהי $f:[a,\infty )\to \mathbb {R}$ פונקציה אינטגרבילית בקטע $[a,M]$ לכל $M>a$ .

נגדיר: $\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{M\to \infty }\int \limits _{a}^{M}f(x)dx$ בתנאי שהגבול קיים (וסופי). אם הגבול אינו קיים אזי האינטגרל מתבדר.

באופן דומה נגדיר: $\int \limits _{-\infty }^{a}f(x)dx=\lim _{M\to \infty }\int \limits _{-M}^{a}f(x)dx=\lim _{M\to -\infty }\int \limits _{M}^{a}f(x)dx$

דוגמאות

דוגמא 1

חשב את האינטגרל של הפונקציה $f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$ בקטע $[1,\infty )$

הפונקציה רציפה בקטע זה, ולכן אינטגרבילית בקטע $[1,M)$ . נקבל:

$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{M\to \infty }\int \limits _{1}^{M}{\frac {dx}{x^{2}}}=\lim _{M\to \infty }-{\frac {1}{x}}{\Bigg |}_{1}^{M}=\lim _{M\to \infty }\left[-{\frac {1}{M}}+{\frac {1}{1}}\right]=1$

דוגמא 2

חשב את האינטגרל של הפונקציה $f(x)=e^{-x}$ בקטע $[0,\infty )$

הפונקציה רציפה על כל הישר הממשי ולכן אינטגרבילית, ובפרט בקטע $[0,M)$ . נקבל:

$\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}dx=\lim _{M\to \infty }\int \limits _{0}^{M}e^{-x}dx=\lim _{M\to \infty }-e^{-x}{\Bigg |}_{0}^{M}=\lim _{M\to \infty }{\Big [}-e^{-M}+e^{-0}{\Big ]}=1$

דוגמא 3

חשב את האינטגרל של הפונקציה $f(x)=\cos(x)$ בקטע $[0,\infty )$

הפונקציה רציפה על כל הישר הממשי ולכן אינטגרבילית, ובפרט בקטע $[0,M)$ . נקבל:

$\int \limits _{0}^{\infty }\cos(x)dx=\lim _{M\to \infty }\int \limits _{0}^{M}\cos(x)dx=\lim _{M\to \infty }\sin(x){\Bigg |}_{0}^{M}=\lim _{M\to \infty }{\Big [}\sin(M)-\sin(0){\Big ]}=\lim _{M\to \infty }\sin(M)$

אך הגבול באינסוף לא קיים, ולכן האינטגרל מתבדר.

• אם האינטגרל $\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx$ מתכנס, אזי לכל $b>a$ מתקיים $\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx+\int \limits _{b}^{\infty }f(x)dx$
• תהי $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ פונקציה אינטגרבילית בכל קטע סגור. אם קיים $a$ עבורו $\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx,\int \limits _{-\infty }^{a}f(x)dx$ מתכנסות, אזי $f$ אינטגרבילית ב־$\mathbb {R}$ ומתקיים $\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{a}f(x)dx+\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx$

אינטגרלים מוכללים של פונקציות לא־חסומות

תהי $f:[a,b)\to \mathbb {R}$ פונקציה לא-חסומה.

נגדיר: אם מתקיים $f$ אינטגרבילית בקטע הסגור $[a,t]\subset [a,b)$ , אזי $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{t\to b^{-}}\int \limits _{a}^{t}f(x)dx$ בתנאי שהגבול קיים.

עבור המקרה $(a,b]$ נגדיר $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{t\to a^{+}}\int \limits _{t}^{b}f(x)dx$ בתנאי שהגבול קיים.

אם קיימת נקודה $c\in [a,b]$ בה $f$ לא חסומה, אזי $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{t_{1}\to c^{-}}\int \limits _{a}^{t_{1}}f(x)dx+\lim _{t_{2}\to c^{+}}\int \limits _{t_{2}}^{b}f(x)dx$ בתנאי שגבולות האינטגרלים בצד ימין קיימים.

דוגמאות

דוגמא 1

חשב את האינטגרל של הפונקציה $f(x)={\frac {1}{\sqrt {x}}}$ בקטע $(0,1]$ .

$\int \limits _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{t\to 0^{+}}\int \limits _{t}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {x}}}=\lim _{t\to 0^{+}}2{\sqrt {x}}{\Bigg |}_{t}^{1}=\lim _{t\to 0^{+}}{\Big [}2{\sqrt {1}}-2{\sqrt {t}}{\Big ]}=2$

דוגמא 2

חשב את האינטגרל של הפונקציה $f(x)={\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}$ בקטע $[-1,1]$ .

הפונקציה לא-חסומה בקטע בסביבת $x=0$ , כלומר עלינו לחשב את האינטגרל בקטע $[1,0)\cup (0,1]$ .

${\begin{aligned}\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}&=\lim _{t_{1}\to 0^{-}}\int \limits _{-1}^{t_{1}}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}+\lim _{t_{2}\to 0^{+}}\int \limits _{t_{2}}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\\&=\lim _{t_{1}\to 0^{-}}3{\sqrt[{3}]{x}}{\Bigg |}_{-1}^{t_{1}}+\lim _{t_{2}\to 0^{+}}3{\sqrt[{3}]{x}}{\Bigg |}_{t_{2}}^{1}\\&=\lim _{t_{1}\to 0^{-}}{\Big [}3{\sqrt[{3}]{t_{1}}}-3{\sqrt[{3}]{-1}}{\Big ]}+\lim _{t_{2}\to 0^{+}}{\Big [}3{\sqrt[{3}]{1}}-3{\sqrt[{3}]{t_{2}}}{\Big ]}=3+3=6\end{aligned}}$