חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרציה/אינטגרל מוכלל

אינטגרל מוכלל (או אינטגרל לא־אמיתי) הנו הכללה של האינטגרל המסוים (רימאן) לקטעים לא־חסומים ופונקציות לא־חסומות.

דוגמא

חשב את האינטגרל

הסבר

מה קרה?! הרי הפונקציה הנה חיובית בכל תחום הגדרתה, ואינטואיטיבית היינו צריכים לקבל שטח חיובי. היכן טעינו?

טעינו בכמה דברים. הפונקציה לא־רציפה בקטע וגם הגבול לא קיים, כלומר הפונקציה אינה חסומה.

אינטגרלים מוכללים בקטעים לא-חסומיםעריכה

תהי   פונקציה אינטגרבילית בקטע   לכל   .

נגדיר:   בתנאי שהגבול קיים (וסופי). אם הגבול אינו קיים אזי האינטגרל מתבדר.

באופן דומה נגדיר:  

דוגמאותעריכה

דוגמא 1

חשב את האינטגרל של הפונקציה   בקטע  

הפונקציה רציפה בקטע זה, ולכן אינטגרבילית בקטע   . נקבל:

 
דוגמא 2

חשב את האינטגרל של הפונקציה   בקטע  

הפונקציה רציפה על כל הישר הממשי ולכן אינטגרבילית, ובפרט בקטע   . נקבל:

 
דוגמא 3

חשב את האינטגרל של הפונקציה   בקטע  

הפונקציה רציפה על כל הישר הממשי ולכן אינטגרבילית, ובפרט בקטע   . נקבל:

 

אך הגבול באינסוף לא קיים, ולכן האינטגרל מתבדר.


  • אם האינטגרל   מתכנס, אזי לכל   מתקיים  
  • תהי   פונקציה אינטגרבילית בכל קטע סגור. אם קיים   עבורו   מתכנסות, אזי   אינטגרבילית ב־  ומתקיים  

אינטגרלים מוכללים של פונקציות לא־חסומותעריכה

תהי   פונקציה לא-חסומה.

נגדיר: אם מתקיים   אינטגרבילית בקטע הסגור   , אזי   בתנאי שהגבול קיים.

עבור המקרה   נגדיר   בתנאי שהגבול קיים.

אם קיימת נקודה   בה   לא חסומה, אזי   בתנאי שגבולות האינטגרלים בצד ימין קיימים.

דוגמאותעריכה

דוגמא 1

חשב את האינטגרל של הפונקציה   בקטע   .

 
דוגמא 2

חשב את האינטגרל של הפונקציה   בקטע   .

הפונקציה לא-חסומה בקטע בסביבת   , כלומר עלינו לחשב את האינטגרל בקטע   .