חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרציה/האינטגרל המסוים

האינטגרל המסוים

אינטגרל מסוים הוא ההפרש בין האינטגרל בנקודה מסוימת לאינטגרל בנקודה אחרת.

בשביל להבין את המשפט הזה, צריך לדעת קודם שאינטגרל של פונקציה מבטא גם את גודל השטח שהגרף של אותה פונקציה תוחם עם ציר ה- $x$.

(על פי מה יודעים שהאינטגרל של פונקציה מראה את השטח בינה לבין ציר x?)

זה אומר שהאינטגרל של הפונקציה $f(x)=-2x^{2}+8$ יכול לבטא את השטח המקווקו בשרטוט:

קובץ:Figure 1

אבל כדי שנוכל באמת למצוא את הגודל נצטרך להגדיר את התחום בו אנו מעוניינים. בואו נניח שתחום ענייננו הוא $-2<x<2$.

זה אומר שנרצה למצוא רק את השטח המקווקו בשרטוט הבא:

קובץ:Figure 2

לשם כך נרשום:

${\int \limits _{-2}^{2}(-2x^{2}+8)dx={\bigg (}-{\frac {2x^{3}}{3}}+8x+C{\bigg )}{\bigg |}_{-2}^{2}={\bigg [}-{\frac {2\cdot 2^{3}}{3}}+8\cdot 2+C{\bigg ]}-{\bigg [}-{\frac {2\cdot (-2)^{3}}{3}}+8\cdot (-2)+C{\bigg ]}}$

ניתן לראות כאן שלושה שלבים:

א) רישום האינטגרל

ב) ביצוע האינטגרציה

ג) מעבר לרישום מתמטי פשוט

ביצוע האינטגרציה (שלב ב') יוצר לנו פונקציה שאם נגזור אותה (אתם מוזמנים לנסות) נקבל את הפונקציה שעליה ביצענו את האינטגרציה (הפונקציה משלב א').

המעבר לרישום מתמטי פשוט (שלב ג') נעשה על-ידי חיסור הפונקציה הקדומה כשמוצב בה הערך העליון של האינטגרל (באדום), מהפונקציה הקדומה כשמוצב בה הערך התחתון של האינטגרל (בירוק). (שימו לב! הערך העליון תמיד יהיה גדול מהערך התחתון!)

הפתרון ממשיך כך:

${}=-{\frac {16}{3}}+16+C-{\bigg (}{\frac {16}{3}}-16+C{\bigg )}=$

$=16+16-{\frac {16}{3}}-{\frac {16}{3}}=32-{\frac {32}{3}}=21{\frac {2}{3}}$

וזה גודל השטח שרצינו למצוא.

שימו לב שה C מתקזז. מאחר שמדובר בחיסור הפונקציה מעצמה כשרק ה- $x$ משתנה, ה- $C$ תמיד יתקזז, ולפיכך נהוג בכלל שלא לכתוב אותו בכל התהליך. כך הופך ה- $C$ למאפיין של האינטגרל הלא-מסוים. הפתרון שלנו למעשה צריך להכתב כך:

$\int \limits _{-2}^{2}(-2x^{2}+8)dx={\bigg (}-{\frac {2x^{3}}{3}}+8x{\bigg )}{\bigg |}_{-2}^{2}=$

$=-{\frac {2\cdot (2)^{3}}{3}}+8\cdot 2-{\bigg [}-{\frac {2\cdot (-2)^{3}}{3}}+8\cdot (-2){\bigg ]}$

שטח שחסום על-ידי מספר גרפים שונים, יחושב (בדרך כלל) על-ידי חיסור או חיבור השטחים שחוסמים אותם גרפים:

קובץ:Figure 12

יחושב על-ידי: $\int \limits _{-1}^{5}f(x)dx-\int \limits _{-1}^{5}g(x)dx$ [לעשות: הוספה של מקרים נוספים - שטחים עם ציר $y$ , שני ישרים וגרף (שטח מפוצל), ואולי גם אזורים מתחת לציר $x$]

אפשר היה להביא כאן דוגמאות שונות של נוסחאות והאינטגרלים שלהן, אך הדבר מיותר - על-מנת לעבוד עם אינטגרלים צריך פשוט לדעת איך גוזרים, ואז לעשות בדיוק את ההפך. הבדיקה הטובה ביותר לאינטגרל היא לגזור את הפונקציה הקדומה שיצאה בתוצאה. אם תוצאת הגזירה היא הפונקציה לה עשינו אינטגרציה, אז האינטגרציה היתה נכונה. (ותופתעו כמה קל לטעות בזה).

מספר פתרונות מבגרויות יבהירו את העניין:

(כשתתקבל תגובת משרד החינוך לגבי פרסום בגרויות, יובאו כאן פתרונות)