חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרציה/מבוא


הקדמהעריכה

אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה של גזירה. במילים אחרות, מציאת הפונקציה באמצעות הנגזרת שלה. כשמתעסקים עם אינטגרלים הרעיון הוא לחשוב על נגזרות, אבל ב"רוורס".‏[1]

לנגזרת יכולות להיות מספר פונקציות מתאימות, בניגוד לפונקציה לה יש נגזרת אחת. למשל, הפונקציות עבורה הנגזרת   יכולות להיות:  ,   ,  וכן הלאה. לכן, בתום האינטגרציה נוסיף את הסימן C, קבוע האינטגרציה, נעלם המייצג את כלל הפונקציות המתאימות לנגזרת זו.

פונקציה קדומה ( ) - היא הפונקציה הראשונית, אותה קיבלו לאחר האינטגרציה. דהיינו, זוהי הפונקציה הראשונה אותה גזרו   וקיבלו נגזרת מסוימת, פונקציה חדשה   . פונקציה   נקראת פונקציה קדומה של   בקטע כלשהו, אם לכל נקודה בקטע   . כלומר   היא הנגזרת של   בקטע.

אינטגרל לא-מסוים - כל הפונקציות הקדומות עבור נגזרת (שיפוע) מסוימת. סימונם   .

הנגזרת היא שיפוע מכאן שהיא מבטאת את:   ובמילים אחרות:   (דלתא   = מרחק). כאשר   (הנגזרת של פונקציה קדומה) שווה   (לפונקציה חדשה) נוכל לרשום   . באמצעות אינטגרציה ל-   (לא חשוב איך) נקבל   . על-ידי ביצוע לשני האגפים (שוב, לא חשוב איך) נקבל   . לכן נוכל לומר   כאשר  

ראו גםעריכה

דף נוסחאות המכיל את כל הכללים באינטגרלים לבגרות, מתוך סיכומונה.

הערות שוליםעריכה

  1. ^ ניתן לחשוב על אינטגרלים גם כעל הכללה של סכום: אם יש לנו מספר בן-מניה של אברים אנו יכולים לסכום אותם לפי הסדר, אבל אם המספר אינו בן-מניה - איך נדע איזה מהם עלינו לסכום קודם? לשם כך בא לעזרתינו האינטגרל - הוא "סוכם בבת אחת".