חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/גבול של סדרה
קצת אינטואיציה לגבי גבול של סדרה
עריכהמושג הגבול הוא כנראה בין המושגים הכי חשובים ומרכזיים בחשבון האינפיניטסימלי, הוא מופיע כמעט בכל מקום, ויש לו חשיבות רבה, מושג הגבול והגדרתו לא פשוטים, אבל אני אנסה לפשט את זה ככל שניתן, על מנת שתוכלו להבין את הגדרת הגבול בצורה הטובה ביותר, ולהיות מאסטרים בחשבון אינפיניטסימלי. לפתיחה, נתחיל עם כמה דוגמאות:
בדוגמא הראשונה, ראינו סדרה אינסופית שמוגדרת בצורה , כלומר האיבר הראשון הוא אחד, האיבר השני הוא שתיים, וכו'... אפשר לראות די בקלות שהסדרה לא "מתקדמת" לעבר מספר ממשי כל שהוא, ולכן אנחנו אומרים שאין לה גבול. בדוגמא השנייה, אנחנו רואים סדרה אינסופית המוגדרת בצורה , היא סדרה קבועה, כלומר לא משנה באיזה אינדקס נבחר, האיבר שנקבל יהיה 5, אז כמובן שיש ערך שהסדרה "מתקדמת" לכיוונו, והוא 5, לכן במקרה שלנו הגבול של הסדרה יהיה המספר הממשי 5. בדוגמא השלישית, אנחנו רואים סדרה שמוגדרת בצורה , כאשר , כלומר כל פעם שנתקדם אינדקס אחד קדימה, נוסיף עוד 9 בנקודה עשרונית קדימה מהמספר שהאינדקס הקודם היה שווה אליו, ניתן לראות שהסדרה שלנו "מתקדמת" לכיוון המספר 1, ולכן נאמר שגבולה הוא 1.
אפשר להגיד בצורה מאוד לא פורמלית, שגבול של סדרה הוא הערך(אם קיים כזה) שהסדרה תתקרב אליו ככל שנתקדם עם האינדקסים לעבר אינסוף(גם אם שום איבר בסדרה יהיה שווה לערך הזה, אנחנו רק דורשים שהוא יתקרב אליו.), אבל זו רק אינטואיציה לא פורמלית, ולכן הגיע הזמן לעבור אל הגדרת הגבול.
הגדרת הגבול של סדרה
עריכה
הגדרה 1: גבול של סדרה תהי , ויהי מספר ממשי, נאמר כי הסדרה מתכנסת ל אם ורק אם לכל קיים כך שלכל מתקיים , או לחלופין, אם לכל מתקיים , ובכתיב מתמטי, ההגדרה תראה כך: .
|
אוקיי, אז כרגע אנחנו יודעים איך ההגדרה נראית, בואו נסביר אותה. עקרונית מה שההגדרה אומרת, זה שהסדרה תתכנס למספר הממשי , אם לכל מספר ממשי חיובי שנבחר, נוכל למצוא אינדקס, שהחל ממנו(לכל האינדקסים שגדולים ממנו) כל איברים הסדרה יהיו קרובים ל עד למרחק של המספר שבחרנו, כלומר נוכל "לקרב" את איברי הסדרה אל ערך הגבול, ככל שרק נרצה. כעת אתן כמה דוגמאות על הוכחת גבול של סדרה.
דוגמה 1: הוכחת גבול של סדרה נתונה הסדרה , הוכח שמתקיים . הוכחה: יהי , נבחר , ולכן מתקיים כעת נסביר:
|
ובכך הוכחנו את הגבול של הסדרה, כעת נעבור למשפטים מרכזיים בתורת הגבולות, ובפרט גבולות של סדרות.
נראה את המשפטים ולאחר מכן את ההוכחות שלהם, כאשר אנחנו נעזרים בהגדרת הגבול כמובן.
משפטי גבולות
עריכה
משפט 1: משפטי גבולות
הוכחה:
לפי הגדרת הגבול, אם נבחר קיים כך שלכל מתקיים , וגם קיים כך שלכל מתקיים , לכן נבחר ולכן שני התנאים יתקיימו, ולכן מתקיים , אבל זו סתירה כי נוכל לבחור ואז נקבל שמתקיים , לכן ההנחה שלנו שגויה, ומתקיים . .
לפי הגדרת הגבול, לכל קיים כך שלכל מתקיים ,לכן נבחר , וכיוון שמתקיים לכל השוויון , נקבל שלכל מתקיים ולכן מהאי שוויון נקבל ש
נגדיר , ולכן על פי הגדרת הגבול קיים כך שלכל מתקיים , וגם קיים כך שלכל מתקיים , מתקיים , ולכן , כעת נוכל להגדיר ונקבל שלכל מתקיים , ומטרנזיטיביות היחס נקבל כמעט לכל . .
הוכחה ללא שימוש במשפט: ניח בשלילה שמתקיים לכל האי שוויון אבל מתקיים , נסמן , ו , לכן לפי ההנחה מתקיים , לפי הגדרת הגבול, נגדיר , ולכן קיים כך שלכל מתקיים , וגם קיים כך שלכל מתקיים , נבחר , ונקבל שמתקיים וגם מתקיים , אבל מתקיים ולכן גם מתקיים כלומר נעביר אגף ונקבל , אבל הביטוי הזה הוא בדיוק , ולכן קיבלנו מהאי שוויון הקודם, שמתקיים , ולכן לפי טרנזיטיביות היחס נקבל שמתקיים לכן , בסתירה לכך ש , לכן ההנחה שלנו הייתה שגויה, ומתקיים בהכרח .
|
כעת יש בידינו עוד קצת כלים, אבל עדיין יש רשימה של משפטים מאוד חשובים(וגם די טריוויאלים) שנצטרך כדי להמשיך לבנות את התאוריה היפה הזו שנקראת חשבון אינפיניטסמלי, אז כעת נעבור קבוצת המשפטים הבאה, שהיא לא אחרת מאשר אריתמטיקה של גבולות, כמו מקודם, אציין את המשפטים ולאחר מכן אוכיח אותם.
אריתמטיקה של גבולות
עריכה
משפט 2: אריתמטיקה של גבולות בכל אחד מהמשפטים, נניח שהסדרות מתכנסות.
יהי , לפי הגדרת הגבול קיים כך שלכל מתקיים , נכפול את שני האגפים ב ונקבל ולכן , כלומר , ולכן הסדרה מתכנסת, וגבולה שווה ל .
|
כעת צברנו עוד קצת כלים, אבל עדיין יש משהו שנראה לנו לא ממש ברור, מה נעשה עם סדרות מהסגנון שלא שואף לערך סופי? כלומר, סדרה כמו ?, שככל שנתקדם גבוה יותר עם האינדקסים, איברי הסדרה יגדלו ויגדלו...
בשביל זה יש לנו את ההגדרה הבאה:
גבול במובן הרחב
עריכה
הגדרה 2: התכנסות במובן הרחב תהי סדרה, אם היא מתכנסת לגבול סופי, או ל , נאמר שהסדרה מתכנסת במובן הרחב |
הגדרה 3: שאיפה לאינסוף ומינוס אינסוף נאמר שהסדרה שואפת ל , אם ורק אם לכל קיים כך שלכל מתקיים , ונאמר שהסדרה שואפת ל , אם ורק אם לכל קיים כך שלכל מתקיים . |
אינטואיטיבית, מה שההגדרה אומרת, זה שאם נרצה להוכיח שסדרה שואפת לאינסוף, אז לכל איבר שנבחר, קיים אינדקס מסויים שממנו ואילך איברי הסדרה גדולים מהמספר שבחרנו, ואם אנחנו רוצים להוכיח לגבי מינוס אינסוף, נצטרך שהחל מאינדקס זה, כל איברי הסדרה קטנים מהמספר שבחרנו.
דוגמה: נוכיח שהסדרה שואפת לאינסוף, כלומר שמתקיים . הוכחה:
יהי , נבחר , ומתקיים , ולכן , ומתקיים .
|
כעת נעבור למשפטים חשובים לגבי שאיפה לאינסוף, חלקם טריוויאלים וחלקם פחות, כמו מקודם, אציין את המשפטים ולאחר מכן אוכיח אותם בסדר מתאים.
אריתמטיקת גבולות באינסוף
עריכה
משפט 3: אריתמטיקת גבולות אינסופיים תהיו סדרות, אז:
|
הוכחה:
- כיוון שמתקיים , קיים כך שלכל מתקיים , וכיוון ש לכל קיים כך שלכל מתקיים , לכן נבחר , אז מתקיים וכיוון ש , נקבל שמתקיים גם , ולכן .
- כיוון שמתקיים , קיים כך שלכל מתקיים , וכיוון ש , לכל קיים כך שלכל מתקיים , לכן נבחר , ונקבל , ולכן . .
- כיוון שמתקיים , קיים כך שלכל מתקיים , וכיוון ש לכל קיים כך שלכל מתקיים , לכן נבחר , אז מתקיים וכיוון ש , נקבל שמתקיים גם , ולכן . .
- כיוון שמתקיים ,לכל קיים כך שלכל מתקיים , וכיוון ש קיים כך שלכל מתקיים , לכן נבחר , אז מתקיים וגם , לכן , ולכן . .
- יהי , כיוון שמתקיים , אזי קיים כך שלכל מתקיים , ולכן , ולפי תכונות הערך המוחלט , ולפי הגדרת הגבול מתקיים . .
- יהי , לפי הגדרת הגבול ומההנחה שמתקיים , קיים כך שלכל מתקיים , ולכן , לכן לכל נבחר ולכן , ולפי הגדרת הגבול במובן הרחב מתקיים .
עוד משפט טריוויאלי אך חשוב:
משפט 4: קריטריון ההשוואה לגבולות אינסופיים אם מתקיים , וגם מתקיים כמעט לכל , אז גם .
|
הוכחה:
נניח שמתקיים , לכן לכל קיים כך שלכל מתקיים , ולפי ההנחה קיים גם כך שלכל מתקיים , נבחר , ולכן מתקיים , ומטרנזייביות היחס נקבל שמתקיים , ולכן . ההוכחה במקרה של שאיפה למינוס אינסוף אנלוגית.
ובכך סיימנו את הדיון שלנו על גבולות במובן הסופי והרחב, הוכחנו משפטים יסודיים וחשובים, ובפעם הבאה נתעסק בסדרות חסומות, בכמה מושגים חדשים, בתכונותיהן ובכמה משפטים מרכזיים הנוגעים בסדרות חסומות.