חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה הלא מדויקת של הגבול

ראינו שגבולות צצים כאשר אנחנו מעוניינים לחשב את המשיק לפונקציה. אין זה מקרי. אנחנו נראה כי למעשה כל מה שנפתח מעתה ואילך יתבסס על מושג הגבול. בפרק זה ניתן הגדרה לא מדויקת למושג הגבול ונפתח שיטות נומריות וגרפיות לחישובו.

נסתכל על ערכי הפונקציה $f(x)=x^{2}$ ליד $x=2$. אנו רואים מהציור כי ככל ש-$x$ מתקרב ל-2, כך הפונקציה מתקרבת ל-4. נבנה טבלה דומה לזו שראינו קודם עבור ערכי הפונקציה בסביבת $x=2$:

ככל ש-$x$ מתקרב ל-2, $f(x)$ מתקרבת ל-4

$f(x)$	$x$	$f(x)$	$x$
9	3	1	1
6.25	2.5	2.25	1.5
4.41	2.1	3.61	1.9
4.0401	2.01	3.9601	1.99
4.004001	2.001	3.996001	1.999

מהסתכלות בטבלה ובגרף, אנו רואים כי כאשר $x$ קרובה ל-2, $f(x)$ קרובה ל-4. למעשה, נראה שאנחנו יכולים לגרום ל-$f(x)$ להיות קרובה ככל שנרצה ל-4 אם נבחר את $x$ להיות קרוב דיו ל-2. אנחנו כותבים זאת מתמטית באופן הבא:

$\lim _{x\to 2}x^{2}=4$

הגדרה: נכתוב $\lim _{x\to a}f(x)=L$

ונאמר "הגבול של $f(x)$, כאשר $x$ שואף ל-$a$, שווה ל-$L$"

אם אנחנו יכולים להביא את $f(x)$ קרובה ל-$L$ ככל שנרצה אם ניקח $x$ קרוב מספיק ל-$a$ (בכל צד של $a$) אבל לא שווה ל-$a$.

שימו לב כי ההגדרה אומרת $x\neq a$. משמע, בחיפוש הגבול של $f(x)$ כאשר $x$ שואף ל-$a$, אנחנו לא מתייחסים למקרה $x=a$. למעשה, $f(x)$ כלל לא צריכה להיות מוגדרת בנקודה $a$. הדבר היחיד שמשנה הוא ש-$f$ מוגדרת ליד $a$, כלומר בסביבה של $a$. למשל, היינו יכולים להגדיר את הפונקציה הנ"ל כך: $f(x)={\frac {x^{2}(x-2)}{x-2}}$. לכאורה, לא שינינו כלל את הפונקציה. לכאורה, עבור כל $x$ שהוא, יצטמצם הגורם $x-2$ מהמונה והמכנה ונקבל את אותה התוצאה אילו הפונקציה הייתה מוגדרת כמו מקודם. אבל, כעת המקרה $x=2$ הוא אינו מוגדר שכן הוא מביא לערך של אפס במכנה. למרות שתחום ההגדרה של הפונקציה לא כולל כעת את $x=2$, הגבול בנקודה זו נשאר כפי שהיה קודם לכן, זאת מכיוון שאנחנו מסתכלים על ערכי הפונקציה בסביבה של 2 ואין זה מעניין אותנו מהו ערכה ב-2 או האם היא בכלל מוגדרת ב-2. ערכה ב-2 יכול להגיע מבחינתנו למיליון, אך הגבול ישאר כפי שהוא.

ראוי לציין כי ההגדרה הנ"ל לגבול היא מעורפלת במקצת וכי בהמשך ניתן הגדרה מדויקת יותר לגבול.

דוגמה: נחש את ערכו של הגבול $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}$.

תשובה: נשים לב כי הפונקציה לא מוגדרת כאשר $x=0$, אבל כאמור, אין זה מפריע לנו. נבנה טבלת ערכים כדי לראות לאן הפונקציה שואפת כאשר $x$ שואף ל-0. ערכי הפונקציה יהיו זהים עבור ערכי x אשר שווים עד כדי סימן מכיוון שגם הפונקציה במונה וגם הפונקציה במכנה הן פונקציות אי-זוגיות וסימני המינוס מבטלים זה את זה.

הפונקציה ${\frac {\sin(x)}{x}}$ בסביבת $x=0$

${\frac {\sin(x)}{x}}$	$x$
0.84147098	$\pm 1$
0.95885108	$\pm 0.5$
0.99334665	$\pm 0.2$
0.99833417	$\pm 0.1$
0.99999983	$\pm 0.001$

מהסתכלות בטבלה ובגרף, אנו מנחשים כי $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1$. לגבול זה תהיה חשיבות רבה בהמשך ורוב מסקנותינו לגבי הפונקציות הטריגונומטריות יתבססו עליו. בפרק הנגזרות הוא יוכח באופן מלא ונראה כי הניחוש שלנו הוא אכן נכון.

דוגמה: נחש את ערכו של הגבול $\lim _{x\to 0}\sin {\bigg (}{\frac {1}{x}}{\bigg )}$, אם קיים.

תשובה: גם פונקציה זו אינה מוגדרת עבור $x=0$. נעריך את ערך הפונקציה עבור ערכי $x$ המתקרבים ל-0 ונקבל:

גרף הפונקציה $\sin {\bigg (}{\frac {1}{x}}{\bigg )}$ בסביבת $x=0$

$\sin {\bigg (}{\frac {1}{x}}{\bigg )}$	$x$
0.84147098	1
0.47942554	0.5
0.09983342	0.1
0.00999983	0.01
0.00009999	0.0001

זה אולי נראה מפתה לנחש $\lim _{x\to 0}\sin {\bigg (}{\frac {1}{x}}{\bigg )}=0$ אבל זוהי טעות! בהסתכלות על גרף הפונקציה, אנו רואים כי כאשר $x$ קרוב לאפס, ערכי הפונקציה "מתנדנדים" בין 1 לבין 1- ואינם שואפים למספר כלשהו. ערך הפונקציה, למשל, עבור $x=0.0002$ הוא בקירוב 0.98797-, בהחלט לא קרוב לאפס כמו ערך הפונקציה עבור $x=0.0001$ או $x=0.01$. מכיוון שערכי הפונקציה אינם מתקרבים לשום ערך ככל ש-$x$ מתקרב לאפס, אנחנו קובעים בזאת: הגבול $\lim _{x\to 0}\sin {\bigg (}{\frac {1}{x}}{\bigg )}$ אינו קיים.

בדוגמה זו ראינו כי שיטת הניחוש שלנו היא מסוכנת במקצת ובמקרים מסוימים, יכולה אף להטעות. בהמשך, נלמד להשתמש בכלים אמינים יותר לחישוב גבולות.

גבולות חד-צדדיים

הגרף של פונקצית הביסייד

הפונקציה הבאה קרויה פונקצית הביסייד ולעיתים, פונקצית מדרגה. הפונקציה קרויה על שמו של אוליבר הביסייד, פיזיקאי ומהנדס חשמל אנגלי ומשמשת לרוב כדי לתאר זרם חשמלי אשר מופעל בזמן $t=0$. היא מוגדרת באופן הבא:

$H(t)=\left\{{\begin{matrix}0&&t<0\\1&&t\geq 0\end{matrix}}\right.$

אנחנו מעוניינים לדעת מהו הגבול שלה כאשר $t$ שואף ל-0, אם קיים גבול כזה. אנחנו רואים כי כאשר $t$ שואף לאפס משמאל, הפונקציה שואפת לאפס. כאשר $t$ שואף לאפס מימין, הפונקציה שואפת לאחד. משמע, אין מספר ייחודי אליו הפונקציה שואפת כאשר $t$ שואף לאפס. מצד אחד, היא שואפת לאפס ומצד שני, היא שואפת לאחד. איך נכתוב זאת באופן פורמלי? נכתוב כך:

$\lim _{t\to 0^{-}}H(t)=0$ וכן $\lim _{t\to 0^{+}}H(t)=1$

הסימון $t\to 0^{-}$ אומר כי אנחנו מתייחסים רק לערכי $t$ אשר קטנים מאפס. הסימון $t\to 0^{+}$ כי אנחנו מתייחסים רק לערכי $t$ אשר גדולים מאפס. הגבול הראשון נקרא הגבול הימני של הפונקציה בנקודה $t=0$ והגבול השני נקרא הגבול השמאלי של הפונקציה בנקודה $t=0$.

הגדרה: נכתוב $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L$

ונאמר "הגבול השמאלי של $f(x)$, כאשר $x$ שואף ל-$a$, שווה ל-$L$"

אם אנחנו יכולים להביא את $f(x)$ קרובה ל-$L$ ככל שנרצה אם ניקח $x$ קרוב מספיק ל-$a$ וקטן מ-$a$.

הגדרה: נכתוב $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=L$

ונאמר "הגבול הימני של $f(x)$, כאשר $x$ שואף ל-$a$, שווה ל-$L$"

אם אנחנו יכולים להביא את $f(x)$ קרובה ל-$L$ ככל שנרצה אם ניקח $x$ קרוב מספיק ל-$a$ וגדול מ-$a$.

גבולות ימניים ושמאליים נקראים גבולות חד-צדדיים מכיון שהם גבולות של הפונקציה מצד אחד בלבד.

אם נשווה את הגדרה 1 עם הגדרות 2 ו-3, נראה כי המשפט הבא הוא נכון:

משפט:$\lim _{x\to a}f(x)=L$ אם ורק אם $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L$ וגם $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=L$.

משפט חשוב זה ורבים אחרים יוכחו באופן פורמלי כאשר נלמד את ההגדרה המדויקת של הגבול.

גבולות אינסופיים ואסימפטוטות אנכיות

נסתכל על הפונקציה $f(x)={\frac {1}{x}}$. אנו מעוניינים למצוא את הגבול של הפונקציה כאשר $x$ שואף ל-0, כלומר את $\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}$, אם הוא קיים.

גרף הפונקציה בסביבת $x=0$

מגרף הפונקציה, ניכר כי היא עולה באופן חופשי עבור ערכי $x$ המתקרבים לאפס. נאמוד את ערכי הפונקציה עבור ערכי $x$ המתקרבים לאפס:

${\frac {1}{x}}$	$x$	${\frac {1}{x}}$	$x$
1	1	1-	1-
2	0.5	2-	0.5-
10	0.1	10-	0.1-
100	0.01	100-	0.01-
1000	0.001	1000-	0.001-
10000	0.0001	10000-	0.0001-

אנחנו רואים כי ככל ש-$x$ מתקרב לאפס, הפונקציה עולה מצד ימין ויורדת מצד שמאל. היא לא שואפת לאף מספר שהוא, כאשר $x$ שואף לאפס, לא מימין ולא משמאל, ולפיכך הגבול אינו קיים וגם הגבול הימני והשמאלי אינם קיימים. יש לנו סימון מיוחד עבור התנהגות זו של פונקציה והוא:

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$ וכן $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty$.

כלומר, ערכי הפונקציה מימין ל-$x=0$ גדלים יותר ויותר (עולים ללא גבול) ככל ש-$x$ מתקרב לאפס מימין וערכי הפונקציה משמאל ל-$x=0$ קטנים יותר ויותר ככל ש-$x$ מתקרב לאפס משמאל. חשוב לציין כי הסימון $\infty$ מציין כאן כי הפונקציה עולה עד לאינסוף (או $-\infty$ בתחום השלילי). אין לפונקציה הזו גבול. אינסוף הוא אינו מספר. הסימון $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=\infty$ הוא סמלי בלבד.

הגדרה: תהי $f$ פונקציה המוגדרת מימין ומשמאל ל-$a$, מלבד אולי ב-$a$ עצמו.

אזי, נכתוב $\lim _{x\to a}f(x)=\infty$ ונאמר "הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר $x$ שואף ל-$a$"

אם אנחנו יכולים להגדיל את ערכי $f(x)$ ככל שנרצה בכך שניקח ערכי x קרובים מספיק ל-$a$, אבל לא שווים ל-$a$.

הגדרה: תהי $f$ פונקציה המוגדרת מימין ומשמאל ל-$a$, מלבד אולי ב-$a$ עצמו.

אזי, נכתוב $\lim _{x\to a}f(x)=-\infty$ ונאמר "הפונקציה שואפת למינוס אינסוף כאשר $x$ שואף ל-$a$"

אם אנחנו יכולים להקטין את ערכי $f(x)$ ככל שנרצה בכך שניקח ערכי x קרובים מספיק ל-$a$, אבל לא שווים ל-$a$.

הגדרות דומות ניתן לתת לגבולות אינסופיים חד-צדדיים (כמו אלו שקיבלנו בדוגמא לעיל).

הגדרה: הישר $x=a$ יקרא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה $y=f(x)$ אם לפחות אחת מהטענות הבאות מתקיימת:

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\infty$, $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\infty$, $\lim _{x\to a}f(x)=\infty$

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=-\infty$, $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=-\infty$, $\lim _{x\to a}f(x)=-\infty$

לדוגמא, ראינו כי לפונקציה $f(x)={\frac {1}{x}}$ יש את האסימפטוטה האנכית $x=0$, מכיוון שהיא שואפת לאינסוף מימין לאפס ושואפת למינוס אינסוף משמאל לאפס. ניתן לחשוב על אסימפטוטה אנכית כעל ישר המקביל לציר ה-$y$ שאליו הפונקציה שואפת להגיע. בפונקציה שראינו, האסימפטוטה האנכית הייתה ציר ה-y עצמו אך בפונקציות אחרות האסימפטוטה יכולה להיות ישר אחר אשר ניצב לציר ה-$y$. למשל, עבור הפונקציה $g(x)={\frac {2}{x-3}}$ האסימפטוטה האנכית היא הישר $x=3$, גם באינסוף וגם במינוס אינסוף (נסו להוכיח זאת).

גבולות באינסוף ואסימפטוטות אופקיות

הבה נסתכל שוב בפונקציה $f(x)={\frac {1}{x}}$ ובגרף שלה. אנחנו רואים כי הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר $x$ הוא חיובי ושואף לאפס וכי היא שואפת למינוס אינסוף כאשר $x$ הוא שלילי ושואף לאפס. אמרנו כי מכיוון שהפונקציה מקיימת את התכונה הזו, הישר $x=0$ הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה. מה לגבי ערך הפונקציה כאשר $x$ שואף לאינסוף או למינוס אינסוף? אנחנו רואים כי הפונקציה שואפת אל ציר ה-$x$, כלומר אל הישר $y=0$. נבדוק באמצעות טבלת ערכים:

${\frac {1}{x}}$	$x$	${\frac {1}{x}}$	$x$
1	1	1-	1-
0.5	2	0.5-	2-
0.1	10	0.1-	10-
0.01	100	0.01-	100-
0.001	1000	0.001-	1000-

אנחנו רואים, נומרית וגרפית, כי ככל שערכי x גדלים, כך ערך הפונקציה קטן ושואף לאפס. הדבר נכון גם עבור ערכי $x$ חיוביים וגם עבור ערכי $x$ שליליים. נכתוב זאת מתמטית באופן הבא:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0$ וכן $\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x}}=0$

כלומר, הגבול של הפונקציה באינסוף הוא אפס והגבול של הפונקציה במינוס אינסוף הוא גם כן אפס. הפונקציה שואפת לישר $y=0$ (ציר ה-$x$). במצב כזה, אנחנו נקרא לישר $y=0$ אסימפטוטה אופקית.

הגדרה: תהי f פונקציה המוגדרת על קטע כלשהו $(a,\infty )$. אזי, נכתוב:

$\lim _{x\to \infty }f(x)=L$

ונאמר "הגבול של הפונקציה באינסוף הוא $L$"

אם אנחנו יכולים לקרב את ערכי הפונקציה $f(x)$ קרוב ככל שנרצה ל-$L$ בכך שניקח ערכי $x$ גדולים מספיק.

הגדרה: תהי f פונקציה המוגדרת על קטע כלשהו $(-\infty ,a)$. אזי, נכתוב:

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=L$

ונאמר "הגבול של הפונקציה במינוס אינסוף הוא $L$"

אם אנחנו יכולים לקרב את ערכי הפונקציה $f(x)$ קרוב ככל שנרצה ל-$L$ בכך שניקח ערכי $x$ גדולים מספיק ושליליים.

אסימפטוטה אופקית היא פשוט כינוי לישר $y=L$ באם מתקיים אחד מהתנאים הנ"ל.

הגדרה: הישר $y=L$ יקרא אסימפטוטה אופקית של הפונקציה $y=f(x)$ אם לפחות אחת מהטענות הבאות מתקיימת:

$\lim _{x\to \infty }f(x)=L$, $\lim _{x\to -\infty }f(x)=L$

לפי ההגדרה הנ"ל, בפונקציה $f(x)={\frac {1}{x}}$, הישר $y=0$ מהווה אסימפטוטה אופקית.

פונקצית הזהות $h(x)=x$

האם פונקציה חייבת להיות בעלת אסימפטוטות אופקיות? לא. נסתכל, למשל, על פונקצית הזהות $h(x)=x$. מגרף הפונקציה, אנו רואים כי כאשר $x$ שואף לאינסוף, גם הפונקציה שואפת לאינסוף. אנו גם רואים כי כאשר $x$ שואף למינוס אינסוף, גם הפונקציה שואפת למינוס אינסוף. אלו הן מסקנות אינטואיטיביות ביותר שכן ערך הפונקציה בכל נקודה שווה לערכו של $x$. אנחנו מסמנים מקרים אלה באופן הבא:

$\lim _{x\to \infty }h(x)=\lim _{x\to \infty }x=\infty$ וכן $\lim _{x\to -\infty }h(x)=\lim _{x\to -\infty }x=-\infty$

ערכי הפונקציה גדלים ככל ש-$x$ הוא חיובי וגדל והם קטנים ככל ש-$x$ הוא שלילי וקטן. היא אינה שואפת לשום ישר. היא פשוט עולה לאינסוף ויורדת למינוס אינסוף. בדוגמה פשוטה זו, מסקנות אלו נראות טריוויאליות אך עבור פונקציות מסובכות יותר, קשה יותר להבחין האם הן מקיימות את התכונות הללו. מקרים אפשריים אחרים הם:

• $\lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty$
• $\lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty$

נסו למצוא פונקציות אשר מקיימות את התכונות הללו.

סוג נוסף של אסימפטוטות, אסימפטוטות משופעות, הוא מצב בו פונקציה שואפת לישר כלשהו אשר אינו מקביל לא לציר ה-$x$ ולא לציר ה-$y$. בסוג זה של אסימפטוטות נדון בהרחבה מאוחר יותר בספר זה.

הנושא הקודם בפרק חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/מבוא לגבולות

בחזרה לעמוד הפתיחה חשבון אינפיניטסימלי/גבולות

הנושא הבא בפרק זה: חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ'