חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול

הגדרת הגבול המדויקת

ניזכר בהגדרה הלא מדויקת שלנו למושג הגבול:

הגדרה: נכתוב $\lim _{x\to a}f(x)=L$ ונאמר "הגבול של $f(x)$ , כאשר $x$ שואף ל־$a$ , שווה ל־$L$" אם אנחנו יכולים להביא את $f(x)$ קרובה ל־$L$ ככל שנרצה אם ניקח $x$ קרוב מספיק ל־$a$ (בכל צד של $a$) אבל לא שווה ל־$a$ .

מה זאת אומרת "להביא את $f(x)$ קרובה ל־$L$ ככל שנרצה" או "$x$ קרוב מספיק ל־$a$" ? מונחים כמו "קרוב מספיק" הם מעורפלים ולא מוגדרים היטב מתמטית. עם זאת, ההגדרה הלא־מדויקת היא אינטואיטיבית ומה שנעשה כעת הוא לפרמל את האינטואיציה. ניתן הגדרה פורמלית ומדויקת למושג הגבול.

הגדרה: גבול תהי $f$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר $a$ , מלבד אולי ב־$a$ עצמו. נאמר כי הגבול של $f(x)$ כאשר $x$ שואף ל־$a$ הוא $L$ , ונכתוב $\lim _{x\to a}f(x)=L$ אם לכל מספר $\varepsilon >0$ קיים מספר $\delta >0$ כך שאם $0<|x-a|<\delta$ , אז מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ .

תמונה הממחישה את ההסבר להגדרת הגבול

הבא ננסה להבין כיצד הגדרה זו, שנראת מסובכת בתחילה, מתאימה להגדרה הלא־מדויקת אשר ניתנה קודם לכן.

כאשר אמרנו "להביא את $f(x)$ קרובה ל־$L$ ככל שנרצה", למה הכוונה ב"ככל שנרצה"? אנחנו יכולים להביא את $f(x)$ למרחק 0.1 מ־$L$ , מרחק 0.00001 ולמעשה, מרחק קטן ככל שנרצה. את המרחק הזה מסמל בהגדרה הנ"ל אפסילון $\varepsilon$ , אות יוונית המשמשת לרוב לציון ערכים קטנים מאוד, למרות שאין זה מן הנמנע כי אפסילון יהיה מספר גדול מאוד. ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}$ הוא המרחק של $f(x)$ מ־$L$ ואנו אומרים שהגבול קיים אם אנחנו יכולים לעשות את המרחק הזה קטן ככל שנרצה (קטן מכל אפסילון שהוא). אם נפתח את הערך המוחלט ונעביר את $L$ הצידה, נקבל:

$$L-\varepsilon <f(x)<L+\varepsilon$$

כלומר, הערכים אשר $f(x)$ מקבלת נמצאים בין $L-\varepsilon$ לבין $L+\varepsilon$ , וזהו הדבר שבדיוק חיפשנו – $f(x)$ קרובה ל־$L$ עד כדי המרחק $\varepsilon$ .

מתי מתרחשת קרבה זו, על־פי ההגדרה? כאשר $0<|x-a|<\delta$ ולאחר פתיחת הערך המוחלט והעברת $a$ הצידה

$$a-\delta <x<a+\delta$$

כלומר עבור ערכי $x$ שהם קרובים ל־$a$ מאוד, למעשה קרובים עד כדי המרחק הקטן $\delta$ .

נשים לב שערכי $x$ אינם יכולים להיות $a$ , שכן אילו היה $x=a$ היה מתקבל כי $|x-a|=|a-a|=0$ , בסתירה לכך ש־$0<|x-a|$ .

עוד על בחירת ε,δ

מנין מגיעים המספרים $\varepsilon ,\delta$ ואיך בוחרים אותם? האם כל מספר יתאים להם?

למי שעדיין אינו בקיא בהוכחות מתמטיות מדויקות, יתכן שהשימוש בשני מספרים כללים נראה מפחיד בתחילה. נחזור כעת למשפט השני מתוך ההגדרה: "...לכל מספר $\varepsilon >0$ קיים מספר $\delta >0$..."

המספר $\varepsilon$ אינו נבחר על ידינו, אם כן. $\varepsilon$ המייצג את המרחק של $f(x)$ מהערך $L$ יכול להיות כל מספר. כאשר נוכיח את קיומו של גבול כלשהו נצטרך למצוא עבור מספר $\varepsilon$ כללי, מספר אחר $\delta$ , מתאים לו (כפי שכתוב בהגדרה) אשר מקיים את שאר תנאי המשפט. $\delta$ אם כן, הוא מספר אשר כן נבחר על ידנו, אבל לא כל $\delta$ יתאים, ונצטרך לבחור אותו בחכמה, ועל כך בדוגמא.

דוגמא: נביט בפונקציה $f(x)={\frac {x}{x}}$ ונתעניין בגבול $\lim _{x\to a}f(x)$ .

ראשית, מהם הערכים שהפונקציה מקבלת? לכל $x\neq 0$ נקבל כי $f(x)={\frac {x}{x}}=1$. ניתן להיות תחת הרושם השגוי כי למעשה $f(x)=1$ לכל $x$ , אבל שימו לב מה קורה עבור $x=0$ : $f(0)={\frac {0}{0}}$ , וכפי שלמדנו בביה"ס היסודי, אין לחלק ב־0 לעולם. לכן ב־0 הפונקציה אינה מוגדרת. עם זאת, אנו "מרגישים" שכאשר נתקרב ל־0 "מאוד" עדיין נשמר הכלל $f(x)=1$ ולכן "מתבקש" כי $\lim _{x\to 0}f(x)=1$ . כעת נוכיח זאת בצורה מדויקת, בעזרת ההגדרה המדויקת שלמדנו.

יהי $\varepsilon _{0}>0$ כלשהו. למה הכוונה במשפט זה? נזכר כי עלינו להוכיח משהו (במקרה זה קיום $\delta >0$ מתאים) עבור כל $\varepsilon >0$ . יש כמובן אינסוף ערכי $\varepsilon$ שעבורם עלינו למצוא. אנו בוחרים אפוא $\varepsilon _{0}>0$ שרירותי, ומוצאים עבורו $\delta _{0}$ מתאים. אם עבור $\varepsilon _{0}$ שרירותי שנבחר נמצא המבוקש - הרי שניתן להגיד שלכל $\varepsilon >0$ ניתן למצוא את המבוקש וסיימנו את ההוכחה.

ובכן, נבחר עבור $\varepsilon _{0}$ שלנו, $\delta =\varepsilon _{0}$ . מתעוררות שתי שאלות:

1. האם זהו $\delta$ מתאים?
2. האם זהו ה־$\delta$ היחידי שניתן לבחור?

התשובה לשאלה הראשונה היא "כן". הבה נראה:

עבור כל $x$ המקיים $0<|x-0|<\delta =\varepsilon _{0}$ בפרט מתקיים $0<|x-0|=|x|$ , כלומר $x\neq 0$ ולכן $f(x)=1$ כפי שהוסבר קודם, ולכן

$${\bigl |}f(x)-1{\bigr |}=|1-1|=0<\varepsilon _{0}$$

ולכן הוכחנו את דרישת ההגדרה.

לשאלתנו השניה – התשובה היא "לא". שימו לב שבהוכחה לא השתמשנו כלל בעובדה כי $|x-0|<\delta =\varepsilon _{0}$ , כלומר לא נזקקנו לגודל מסוים של $\delta$ , ולמעשה יכולנו לבחור כל ערך עבורו, בפרט לקבוע ערכים קבועים כמו $\delta =32$ . זה לא יהיה המצב תמיד, ולעתים נהיה חייבים לקבוע מגבלות מסוימות על ערכי $\delta$ המתאימים. עם זאת, שימו לב שאם $\delta =\delta _{0}$ מתאים ל־$\varepsilon =\varepsilon _{0}$ מסוים הרי שגם $\delta ={\frac {\delta _{0}}{2}}$ יתאים ולכן תמיד הבחירה של $\delta$ אינה יחידה.

אתגר: נסו להבין למה אם $\delta =\delta _{0}$ מתאים ל־$\varepsilon =\varepsilon _{0}$ אז גם $\delta ={\frac {\delta _{0}}{2}}$ מתאים לו.

הגדרה מדויקת לגבולות חד־צדדיים

הבה ניזכר בפונקציה

$f(x)={\begin{cases}1&:x>0\\-1&:x<0\end{cases}}$

האם לפונקציה זו קיים גבול עבור $x=0$ ? אנו טוענים שלא. נראה זאת:

נניח בשלילה שקיים גבול $L$ לפונקציה עבור $x=0$ , כלומר מתקיים $\lim _{x\to 0}f(x)=L$ . על־פי ההגדרה: לכל סביבה $\varepsilon >0$ קיים מספר $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-0|=|x|<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L{\bigr |}<\varepsilon$ .

ניקח לדוגמא אם כן $\varepsilon =1$ , אשר עבורו קיים $\delta =\delta _{0}$ מתאים. נסמן $x_{1}={\frac {\delta _{0}}{2}}$ וכן $x_{2}=-{\frac {\delta _{0}}{2}}$ , ומתקיים: $|x_{1}|<\delta _{0}$ ולכן ${\bigl |}f(x_{1})-L{\bigr |}=|1-L|<1$ , כלומר לאחר פתיחת הערך המוחלט והעברת אגף $L>0$ .

אם נעשה את הדבר עם $x_{2}$ נקבל כי ${\bigl |}f(x_{2})-L{\bigr |}=|-1-L|<1$ כלומר נקבל $L<0$ . קיבלנו סתירה ולכן לא קיים גבול.

עם זאת, אנו מרגישים כי אם "נתקרב" ל־0 רק מכיוון אחד כל פעם, נקבל גבול – אם נתקרב מהכיוון החיובי נקבל גבול $L^{+}=1$ , בעוד שאם נתקרב מהכיוון השלילי נקבל גבול $L^{-}=-1$ . נגדיר את $1$ אם כן להיות "הגבול של $f(x)$ מימין ב־0" , ואת $-1$ להיות "הגבול של $h(x)$ משמאל ב־0" . ובמדויק:

הגדרה: גבול חד־צדדי תהי $f$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח $(a,b)$ . נאמר כי הגבול של $f(x)$ כאשר $x$ שואף ל־$a$ מימין הוא $L^{+}$ , ונכתוב $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=L^{+}$ אם לכל סביבה $\varepsilon >0$ קיים מספר $\delta >0$ כך שלכל $0<x-a<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L^{+}{\bigr |}<\varepsilon$ . תהי $f$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח $(b,a)$ . נאמר כי הגבול של $f(x)$ כאשר $x$ שואף ל־$a$ משמאל הוא $L^{-}$ , ונכתוב $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L^{-}$ אם לכל סביבה $\varepsilon >0$ קיים מספר $\delta >0$ כך שלכל $0<a-x<\delta$ מתקיים ${\bigl |}f(x)-L^{-}{\bigr |}<\varepsilon$ . כל אחד מהגבולות הנ"ל מכונה "גבול חד־צדדי של $f$ ב־$a$".

הקשר בין הגבול לגבולות החד־צדדיים

אפשר לשים לב כי הגדרה זו דומה מאוד להגדרת הגבול, אלא שכאן אנו "מתקרבים" לנקודה $a$ בכל פעם רק מכיוון אחד. מה הקשר בין הגבולות החד־צדדיים לגבול הרגיל של פונקציה? אם לפונקציה קיים גבול משני צדיה בנקודה $a$ , הרי שבפרט ניתן "להתקרב" לכל צד בנפרד ולהגיע לאותו גבול. יתרה מכך, אם קיימים לפונקציה שני גבולות חד-צדדים בנקודה וגבולות אלו שווים – הרי שהגיוני שהגבול של הפונקציה קיים, ועל כך במשפט הבא:

משפט: לפונקציה $f$ גבול $L$ בנקודה $a$ , אם ורק אם לפונקציה קיימים שני הגבולות החד־צדדיים בנקודה ושניהם שווים ל־$L$ . $\lim _{x\to a}f(x)=L\iff \lim _{x\to a^{+}}f(x)=L\land \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L$

הוכחת צד אחד:
נניח ל- $f$ קיימים גבולות חד-צדדיים בנקודה $a$ , ומתקיים $L\equiv L^{+}=L^{-}$ ויהי $\varepsilon >0$ כלשהו. ע"פ הגדרה קיימים $\delta ^{+},\delta ^{-}>0$ כך ש:

• לכל $x$ המקיים $0<x-a<\delta ^{+}$ , אז ${\bigg |}f(x)-L{\bigg |}<\varepsilon$ .
• לכל $x$ המקיים $0<a-x<\delta ^{-}$ , אז ${\bigg |}f(x)-L{\bigg |}<\varepsilon$ .

נסמן $\delta _{0}\equiv \min(\delta ^{+},\delta ^{-})$ . כעת לכל $x$ המקיים $0<|x-a|<\delta _{0}$ מתקיים בדיוק אחד משני הבאים:

• אם $x>a$ , אז $0<x-a<\delta _{0}\leq \delta ^{+}$ , ולכן ${\bigg |}f(x)-L{\bigg |}<\varepsilon$ .
• אם $x<a$ , אז $0<a-x<\delta _{0}\leq \delta ^{-}$ , ולכן ${\bigg |}f(x)-L{\bigg |}<\varepsilon$ .

ולכן הגבול של $f$ הוא $L$, ע"פ ההגדרה.

ה"טריק בו השתמשנו, היה בחירת שתי "$\delta$-ות" ולקיחת הקטנה מבינהן ע"י פונקציית המינימום. זהו "טריק" שחוזר על עצמו רבות בהוכחות בגבולות, וכדאי לזכור אותו כדי לדעת להשתמש בו בעתיד.

אתגר: הוכח את הצד השני במשפט זה.

הגדרה מדויקת לגבולות אינסופיים

נביט בפונקציה $h_{1}(x)={\frac {1}{x^{2}}}$ . ברור לנו כי בנקודה $x=0$ עצמה הפונקציה אינה מוגדרת. ומה קורה בסביבה קרובה של $x$ ? ככל שאנו מתקרבים לנקודה x=0 הפונקציה מקבלת ערכים הולכים וגדלים. למעשה אין חסם עליון על הערכים שהפונקציה יכולה לקבל, וניתן לקבל ערך גדול כרצוננו לפונקציה. למצב זה נקרא "גבול אינסופי" ונגיד כי "$h_{1}$ שואפת לאינסוף ב- $0$" .
בצורה אנלוגית עבור $h_{2}(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}$ נגיד כי "$h_{2}$ שואפת למינוס אינסוף ב- $0$" .

הגדרה: גבול אינסופי א. תהי $f$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר $a$ , מלבד אולי ב- $a$ עצמו. נאמר כי הגבול של $f(x)$ כאשר $x$ שואף ל- $a$ הוא $\infty$, ונכתוב $\lim _{x\to a}f(x)=\infty$ אם לכל מספר $M>0$ קיים מספר $\delta >0$ כך שאם $0<|x-a|<\delta$ , אז מתקיים $f(x)>M$ . ב. תהי $g$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר $a$ , מלבד אולי ב- $a$ עצמו. נאמר כי הגבול של $g(x)$ כאשר $x$ שואף ל- $a$ הוא $-\infty$ , ונכתוב $\lim _{x\to a}g(x)=-\infty$ אם לכל מספר $M<0$ קיים מספר $\delta >0$ כך שאם $0<|x-a|<\delta$ , אז מתקיים $g(x)<M$ .

ההגדרות אלו מגדירות בצורה מדויקת את מה שנאמר במילים פשוטות. ההגדרות קובעות כי לפונקציה אין חסם עליון בסביבת $a$ , ויתרה מכך, לכל מספר גדול ככל שנרצה $M$ , נוכל למצוא סביבה קטנה מספיק סביב $a$ כך שערכי הפונקציה בסביבה זו גדלם כולם מ-$M$ .
הבא נראה כיצד הגדרות אלו באות לידי ביטוי בדוגמא למעלה, עבור הפונקציה $h_{1}$ :
יהי $x$ כלשהו. נסמן $\delta _{0}\equiv {\frac {1}{\sqrt {M_{0}}}}$ .
יהי כעת $M_{0}>0$ המקיים $|x0|<\delta _{0}$ . אז $h_{1}(x)={\frac {1}{x^{2}}}>{\frac {1}{(\delta _{0})^{2}}}\geq M_{0}$ . מש"ל.

אתגר: הוכח עבור $h_{2}$ המוגדרת מעלה כי $\lim _{x\to 0}h_{2}(x)=-\infty$ .

גבולות חד-צדדיים באינסוף

נביט בפונקציה $h_{3}(x)={\frac {1}{x}}$ . האם לפונקציה קיים גבול עבור $x=0$ ? כאשר "מתקרבים ל- $0$ מימין" (כלומר עבור ערכים חיוביים), $h_{3}(x)$ מקבלת ערכים הולכים וגדלים. כך:

$x$	$h_{3}(x)$
1	1
0.1	10
0.001	1,000
0.0001	10,000
0.000001	1,000,000

לעומת זאת כאשר "מתקרבים ל- $0$ משמאל" (כלומר עבור ערכים שליליים, $h_{3}(x)$ מקבלת ערכים הולכים וקטנים. כך:

$x$	$h_{3}(x)$
1-	1-
0.1-	10-
0.001-	1,000-
0.0001-	10,000-
0.000001-	1,000,000-

שוב אנו מבינים כי יש הבדל בני שני הצדדים של הנקודה $x=0$ , ו"מרגישים" כי קיימים גבולות שונים בכל צד. ניתן הגדרה מדויקת:

הגדרה: גבול חד-צדדי אינסופי תהי $f$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה $(a,b)$ . נאמר כי הגבול של $f(x)$ כאשר $x$ שואף ל- $a$ מימין הוא $\infty$ , ונכתוב $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\infty$ אם לכל מספר $M>0$ קיים מספר $\delta >0$ כך שאם $0<x-a<\delta$ , אז מתקיים $f(x)>M$ . תהי $f$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה $(b,a)$ . נאמר כי הגבול של $f(x)$ כאשר $x$ שואף ל- $a$ משמאל הוא $\infty$ , ונכתוב $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\infty$ אם לכל מספר $M>0$ קיים מספר $\delta >0$ כך שאם $0<a-x<\delta$ , אז מתקיים $f(x)>M$ .

ועכשיו נוכיח כי $\lim _{x\to a^{+}}h_{3}(x)=\infty$ :
יהי $M_{0}>0$ כלשהו. נבחר $\delta _{0}={\frac {1}{M_{0}}}$ . יהי $x_{0}$ כלשהו המקיים $0<x_{0}-0<\delta _{0}$ ואז קל לראות כי $h_{3}(x_{0})={\frac {1}{x_{0}}}>{\frac {1}{\delta _{0}}}=M_{0}$ . מש"ל.

אתגר: הגדר את הגבולות החד-צדדיים: $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=-\infty$ ו- $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=-\infty$ , והוכח כי $\lim _{x\to a^{-}}h_{3}(x)=-\infty$ .

הגדרה מדויקת לגבולות באינסוף

נביט שוב בפונקציה $h_{3}(x)={\frac {1}{x}}$ . הפעם נביט בערכים הולכים וגדלים של $x$ :

$x$	$h_{3}(x)$
1	1
100	0.01
1,000	0.001
100,000	0.00001
1,000,000	0.0000001

מה קורה לפונקציה? הפונקציה מקבלת ערכים הקרבים ל-$0$ יותר ויותר. נגדיר את הגבול באינסוף כמספר שאליו הפונקציה הייתה "רוצה" להגיע.

הגדרה: גבולות באינסוף א. תהי $f$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה $(a,\infty )$ . נאמר כי הגבול של $f(x)$ כאשר $x$ שואף ל- $\infty$ הוא $L$ , ונכתוב $\lim _{x\to \infty }f(x)=L$ אם לכל מספר $\varepsilon >0$ קיים מספר $N>0$ כך שאם $N<x$ , אז מתקיים ${\Big |}f(x)-L{\Big |}<\varepsilon$ . ב. תהי $g$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה $(-\infty ,a)$ . נאמר כי הגבול של $g(x)$ כאשר $x$ שואף ל- $-\infty$ הוא $L$ , ונכתוב $\lim _{x\to -\infty }g(x)=L$ אם לכל מספר $\varepsilon >0$ קיים מספר $N<0$ כך שאם $x<N$ , אז מתקיים ${\Big |}g(x)-L{\Big |}<\varepsilon$ .

ננסה להבין את ההגדרה הזאת בעזרת ההגדרה לגבול ה"רגיל". מה ההבדל בין ההגדרות?
בהגדרת הגבול הקודמת, חיפשנו ערכי $x$ בסביבות הולכות וקטנות של $a$ (מוגבלות ע"י $\delta$-ת) אשר צמצמו את ערכי הפונקציה $f(x)$ (ערכים אלו מוגבלים ע"י $\varepsilon$) .
בהגדרה זאת במקום סביבה ל- $a$ אנחנו מגדילים את ערכי $x$ עוד ועוד (ע"י הגדלת $N$) , וזה בתורו מצמצם את ערכי הפונקציה $f(x)$ (ושוב ערכים אלו מוגבלים ע"י $\varepsilon$).

הבא נדגים על $h_{3}(x)$ :
יהי $\varepsilon _{0}>0$ כלשהו. נגדיר עבורו $N_{0}={\frac {1}{\delta _{0}}}$ . ויהי $x_{0}$ כלשהו, המקיים $x_{0}>N_{0}$ . ואז $h_{3}(x_{0})={\frac {1}{x_{0}}}={\frac {1}{N_{0}}}<\varepsilon$

הגדרה מדויקת לגבולות אינסופיים באינסוף

כשם שהגדרנו גבול אינסופי, שם אמרנו שבסביבה מסוימת אין לפונקציה חסם, נגדיר לפונקציה "גבול אינסופי באינסוף" אם ערכיה הולכים וגדלים ללא הגבלה כאשר $x$ גדל.

הגדרה: גבול אינסופי באינסוף תהי $f$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה $(a,\infty )$ . נאמר כי הגבול של $f(x)$ כאשר $x$ שואף ל- $\infty$ הוא $\infty$ , ונכתוב $\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$ אם לכל מספר $M>0$ קיים מספר $N>0$ כך שאם $N<x$ , אז מתקיים $f(x)>M$ .

לדוגמא, נביט ב- $h_{4}(x)=x$. נוכיח שהיא שואפת לאינסוף באינסוף.
יהי $M_{0}>0$ כלשהו. נגדיר עבורו $N_{0}=M_{0}$. ויהי כעת $x$ המקיים $x>N_{0}$ . אז מתקיים: $h_{4}(x)=x>N_{0}=M_{0}$ . מש"ל.

אתגר: הגדר את הגבולות: $\lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty \ ,\ \lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty \ ,\ \lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$

הגדרת הגבול לפי סדרות

היינה פיתח הגדרה משלו למושג הגבול ששקולה להגדרה הקודמת, של קושי. היינה השתמש במושג גבול סדרה כדי להגדיר את גבול הפונקציה.

הגדרה: גבול לפי היינה נגיד ש- $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=L$ אם לכל סדרה $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ כך ש- $\forall n\in \mathbb {N} :x_{n}\neq x_{0}$ ו- $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$ מתקיים: $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=L$

כלומר, ע"י בחירת סדרה של נקודות שמתקרבת יותר ויותר ל- $x_{0}$ , הפונקציה תתקרב יותר ויותר ל- $L$

קישורים חיצוניים

• תרגילים (עם פתרונות מלאים) בהוכחת גבולות על-פי ההגדרה (מומלץ להתעלם משאלות 13-14 בשלב הזה)

הנושא הקודם בפרק חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ'

בחזרה לעמוד הפתיחה חשבון אינפיניטסימלי/גבולות

הנושא הבא בפרק זה: חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות