חשבון אינפיניטסימלי/חסימות ואיבר מינימלי

מינמום

עריכה

הגדרה 1: מינמום של קבוצה

יהי   שדה סדור ותהי תת קבוצה  .

נאמר ש-  הוא מינמום של הקבוצה אם:

  1.  
  2.  


טענה 1: מינמום הוא יחיד

נניח בשלילה כי קיימים שני חסמים תחתונים מינמלים:   מתקים:

עבור  :   על כן  

עבור  :   על כן  

מכאן ש- 

מקסימום

עריכה

הגדרה 2: מקסימום של קבוצה

יהי   שדה סדור ותהי תת קבוצה  .

נאמר ש-  הוא מינמום של הקבוצה אם:

  1.  
  2.  


טענה 2: מקסימום הוא יחיד

חסימות בטבעים

עריכה

משפט 1: עקרון הסדר הטוב: תהי   תת קבוצה של הטבעיים לא ריקה אזי יש לקבוצה   איבר מינימלי

תהי  . נניח בשלילה כי אין לקבוצה   איבר מינימלי.

אם   אזי   על פי הטענה  

לכן   ומתקיים  

נגדיר:  , קבוצת כל האיברים המינמלים - נוכיח זאת:

על פי ההגדרה  

אם נוכיח כי הקבוצה היא אינדוקטיבית קיבלנו סתירה מפני שלכאורה  . הרי על פי הגדרה   מכילה את כל האיברים  . אם   ו-  אז  )

נוכיח כי הקבוצה   היא אינדוקטיבית:

  •   מפני שקבוצת הטבעים היא קבוצה אינדוקטיבית.
  • יהי  . מאחר שהנחנו בשלילה ש-  לא אינדקוטיבית מתקיים  
  • אם   אז הוא לא מקיים את הגדרת הקבוצה   כלומר קיים   כך ש- 
  • נתון כי   אינה חסומה ולכן קיים   המקיים  

על כן מתקיים   בסתירה למשפט ש- .

לכן  . מכאן   אינדקוטיבית ומתקיים  

בסתירה לכך ש- 


חסימות בשדה

עריכה

הגדרה 2: קבוצה חסומה מלמעלה/מלעיל בשדה

 


הגדרה 3: קבוצה חסומה מלמעלה בטבעים

 


הגדרה 4: קבוצה חסומה מלמטה/מלרע בשדה

 


הגדרה 5: קבוצה חסומה

 

חסם עליון ותחתון

עריכה

הגדרה 6: חסם עליון (lub\supermum)

תהי  . נאמר ש-  הוא חסם עליון של הקבוצה אם:

  1.  
  2.   כלומר לא קיים חסם קטן יותר ממנו.
 
החסם העליון גדול מכל איברי הקבוצה  . אם הסופרמום הוא מקסימום של הקבוצה הוא יכול להיות גם שווה לאחד מאיברי הקבוצה. אם נצעד אפסילון (מעט מאוד) צעדים נגיע אל איברי הקבוצה


טענה 2: קיים סופרמום יחיד לקבוצה

נניח בשלילה כי קיימים שני סופרמומים לקבוצה לא ריקה A ונסמנם  .

עבור  :   על כן  

עבור  :   על כן  

מכאן ש- 


הגדרה 6: חסם תחתון (infimum / glb)

תהי  . נאמר ש-  הוא חסם תחתון של הקבוצה אם:

  1.  
  2.  


טענה 3: קיים אינפימום יחיד לקבוצה



משפט 1: עקרון החסם העליון: תהי   חסומה מלמעלה אזי יש לקבוצה חסם עליון בממשים

נתון כי   חסומה מלמעלה.

נסמן:   קבוצת כל החסמים מלמעלה של הקבוצה  , בהכרח לא ריקה (הרי הקבוצה A חסומה מלמעלה).

על פי אקסיומת השלמות קיים   יחיד כך ש- 

כלומר   מפני שהוא :

  1.  
  2.   הוא החסם הקטן ביותר בקבוצת החסמים  



משפט 1: עקרון החסם התחתון:: תהי   חסומה מלמטה אזי יש לקבוצה חסם מלמטה בממשים


טענה 4: תהי   אזי  

אפס הוא חסם מלרע של   על פי הגדרה.

נניח בשלילה כי קיים חסם תחתון קטן יותר מאפס כלומר  .

יהי  .

  כלומר   אינו חוסם אותו למרות שהוא שייך לקבוצה ולכן   אינו חסם של הקבוצה. על כן