חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/הגדרת הנגזרת

שיפוע של פונקציה לא לינארית

עבור פונקציות לינאריות, הנוסחה המוכרת לחישוב השיפוע היא כנלמד: $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$.
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה.

הגדרת הנגזרת

נכליל את הגדרת השיפוע עבור פונקציה כללית. תהי f פונקציה כלשהי, ו-$\Delta x$ הפרש שיעורי ה-X של שתי נקודות עליה.

השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת: $m={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

ככל ש-$\Delta x$ קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.
$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

אם נסמן $h=\Delta x$, נקבל:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

דוגמא

גזור (לפי הגדרת הנגזרת) את הפונקציה $f(x)=x^{2}$:
$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2x\Delta x+\Delta x^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta x(2x+\Delta x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{2x+\Delta x}=\lim _{\Delta x\to 0}{2x}+\lim _{\Delta x\to 0}{\Delta x}=2x+0=2x$