חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/הגדרת הנגזרת

שיפוע של פונקציה לא לינאריתעריכה

עבור פונקציות לינאריות, הנוסחה המוכרת לחישוב השיפוע היא כנלמד:  .
אולם, אנו מעוניינים למצוא את שיפוען של פונקציות כלליות, לאו דווקא לינארית. לא נוכל להשתמש בנוסחה הקודמת, משום ששיפוען של פונקציות אלה אינו קבוע - הנוסחה הקודמת תלויה בנקודות שבחרנו, אך אם נבחר נקודות שונות לא נקבל תמיד את אותה התוצאה.

הגדרת הנגזרתעריכה

נכליל את הגדרת השיפוע עבור פונקציה כללית. תהי f פונקציה כלשהי, ו-  הפרש שיעורי ה-X של שתי נקודות עליה.

השיפוע שבין שתי נקודות אלו ניתן לחישוב על פי הנוסחה הקודמת:  

ככל ש-  קטן, הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק בנקודה, ולכן המשיק הוא הגבול.
נסכם ונגדיר את הנגזרת בנקודה כשיפוע שבין שתי נקודות על פונקציה ההולכות וקרבות אחת לשנייה.
 

אם נסמן  , נקבל:

 

דוגמאעריכה

גזור (לפי הגדרת הנגזרת) את הפונקציה  :