חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/חוקי גזירה

סכום והפרש

הנגזרת של סכום או הפרש שתי פונקציות היא סכום או הפרש הנגזרות של שניהם

${{\Big [}f(x)\pm g(x){\Big ]}'=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)\pm g(x+h)-f(x)\mp g(x)}{h}}\right]=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\pm {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]}$$=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]\pm \lim _{h\to 0}\left[{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]=f'(x)\pm g'(x)$

מכפלה

הנגזרת של מכפלת שתי פונקציות שווה לסכום של מכפלת כל אחת בנגזרת של השנייה

${\Big [}f(x)g(x){\Big ]}'=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\right]=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}}\right]=$

$=\lim _{h\to 0}\left[f(x+h)\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]+\lim _{h\to 0}\left[g(x)\cdot {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$

מנה

הנגזרת של מנה שווה להפרש של מכפלת כל פונקציה בנגזרת של חברתה, לחלק לפונקציה שבמכנה בחזקת שתיים

$\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'=\left[f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right]'=-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}+{\frac {f'(x)}{g(x)}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}$

(על פי נגזרת של פונקציה רציונלית $\left(\left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}\right)$ ושימוש בכלל של פונקציה מורכבת שמובא בהמשך)

פונקציה מורכבת

הנגזרת של פונקציה מורכבת שווה לנגזרת של הפונקציה החיצונית (כאשר המשתנה הוא הפונקציה הפנימית) כפול הנגזרת של הפונקציה הפנימית (במשתנה x)

${\Big [}f(g(x)){\Big ]}'=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}\right]=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(g(x+h))-f(g(x)}{g(x+h)-g(x)}}\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]=\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}}\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=f'(g(x))g'(x)$