חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/כלל השרשרת
- משפט
תהי פונקציה גזירה ב־ ותהי פונקציה גזירה ב־ .
אזי .
- הוכחה
עלינו לחשב את .
נכפיל מונה ומכנה בביטוי ונקבל:
קלי קלות, האמנם?
התשובה שלילית.
ההוכחה היתה עובדת לו הנחנו כי יש סביבה כך שלכל מתקיים .
כיון שלא עשינו כך, יתכן וקיימת נקודה בסביבת כך שמתקיים , ועל כן אנו לפעמים מקבלים – פעולה לא־חוקית.
לדוגמא: הפונקציה , אף שהיא גזירה בנקודה 0, בכל סביבה יש נקודה בה .
כדי לטפל במקרה הכללי נגדיר פונקציית עזר:
ניתן לראות זאת על ידי פירוק לשני מקרים – כאשר שני צדדי המשוואה מתאפסים, וכאשר המכנה בהגדרת מצטמצם עם המונה בשבר הימני.
כיון ש־ גזירה ב־ אז היא רציפה שם, ומתוך אריתמטיקה של גבולות נקבל את התוצאה הרצויה.