חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/כלל השרשרת

משפט

תהי פונקציה גזירה ב־ ותהי פונקציה גזירה ב־ .

אזי .

הוכחה

עלינו לחשב את .

נכפיל מונה ומכנה בביטוי ונקבל:

קלי קלות, האמנם?

התשובה שלילית.

ההוכחה היתה עובדת לו הנחנו כי יש סביבה כך שלכל מתקיים .

כיון שלא עשינו כך, יתכן וקיימת נקודה בסביבת כך שמתקיים , ועל כן אנו לפעמים מקבלים – פעולה לא־חוקית.

לדוגמא: הפונקציה , אף שהיא גזירה בנקודה 0, בכל סביבה יש נקודה בה .

כדי לטפל במקרה הכללי נגדיר פונקציית עזר:

ניתן לראות זאת על ידי פירוק לשני מקרים – כאשר שני צדדי המשוואה מתאפסים, וכאשר המכנה בהגדרת מצטמצם עם המונה בשבר הימני.

כיון ש־ גזירה ב־ אז היא רציפה שם, ומתוך אריתמטיקה של גבולות נקבל את התוצאה הרצויה.