חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/נגזרת של פונקציה הפיכה

דף זה עוד בכתיבה. ביכולתכם להוסיף לדף זה!

תהי $f$ פונקציה מונוטונית ורציפה בקטע $I$ , ותהי $x_{0}$ נקודה פנימית בקטע זה. נסמן $y_{0}=f(x_{0})$ .

אם $f$ גזירה ב- $x_{0}$ , ואם $f'(x_{0})\neq 0$ , אז הפונקציה ההופכית של $f$ , שנסמנה $g$ , גזירה ב- $y_{0}$ ונגזרתה היא: $g'(y_{0})={\frac {1}{f'(x_{0})}}$

הוכחה:

על פי הגדרת הפונקציה ההופכית מתקיים $g(y)=x\Rightarrow g(f(x))=x$.

כעת נגזור את שני האגפים ונקבל:

$g'(y)\cdot f'(x)=1\Rightarrow g'(y)={\frac {1}{f'(x)}}$

דוגמאות

• הנגזרת של הפונקציה $f(x)={\sqrt {x}}$ היא $f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ (הגדרנו את הפונקציה כפונקציה הופכית של הפונקציה $y^{2}$)
• הנגזרת של הפונקציה $f(x)=2x+1$ היא $f'(x)={\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2$ (הגדרנו את הפונקציה כפונקציה הופכית של הפונקציה ${\frac {y-1}{2}}$)