חשבון אינפיניטסימלי/סדרות/סדרות חסומות

סדרות חסומות

ישנן סוגים רבים של סדרות שניתן לחשוב עליהן, אך בפרק זה אנחנו נשים דגש מיוחד בתכונות של סדרות מסוימות, סדרות שכל אבריהן גדולים או קטנים ממספרים ממשיים כלשהם ונשים לב לתכונות המיוחדות שלהן. אך ראשית, מספר דוגמאות.

דוגמאות

• נסתכל על הסדרה $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\dots$ . קל לראות (וכן להוכיח) שאברי הסדרה הזו תמיד קטנים או שווים ל- $1$ ותמיד גדולים מ- $0$ (בכלל, יותר גדולים מכל מספר אי-חיובי כלשהו).
• אברי הסדרה $\left\{1+{\frac {1}{n^{2}}}\right\}_{n=1}^{\infty }$ תמיד גדולים או שווים ל- $1$ ותמיד תמיד קטנים או שווים מ- $2$ .

באופן פורמלי, אלו ההגדרות של סדרות חסומות:

הגדרה 1: סדרה חסומה מלעיל סדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ תיקרא חסומה מלעיל (או חסומה מלמעלה) אם קיים $M\in \mathbb {R}$ כך שלכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים: $a_{n}<M$ . במקרה זה $M$ יקרא חסם מלעיל (או חסם מלמעלה) של $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ .

לפי ההגדרה הזו, נוכל לומר שבדוגמא הראשונה 2 הוא חסם מללעיל של הסדרה.

הגדרה 2: סדרה חסומה מלרע סדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ תיקרא חסומה מלרע (או חסומה מלמטה) אם קיים $M\in \mathbb {R}$ כך שלכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים $a_{n}>M$ . במקרה זה נאמר ש- $M$ הוא חסם מלרע (או חסם מלמטה) של הסדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ .

לפי ההגדרה הזו, נוכל לומר שבדוגמא הראשונה 1 הוא חסם מלרע של הסדרה.

הגדרה 3: סדרה חסומה סדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ תיקרא חסומה, אם היא חסומה גם מלעיל וגם מלרע.

משפטים

משפט 1: סדרה חסומה סדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ חסומה אם ורק אם קיים $M\in \mathbb {R}$ כך שלכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים $|a_{n}|<M$ .

הוכחה זו מאוד פשוטה ולכן רצוי שהקורא ינסה לעשות אותה בעצמו ורק אם יתקשה עליו להסתכל בהוכחה למטה.

הוכחה: $(\Leftarrow )$ תהי $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה חסומה. לפי ההגדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ חסומה מלעיל וחסומה מלרע. לפי ההגדרה של חסימות מלעיל, קיים $M_{1}\in \mathbb {R}$ כך שלכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים:

$a_{n}<M_{1}$

$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ חסומה מלרע לכן, לפי ההגדרה, קיים $M_{2}\in \mathbb {R}$ כך שלכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים:

$a_{n}>M_{2}$

כעת, נבחר: $M=\max\{M_{1},-M_{2}\}$ מבחירה זו נקבל: $M>M_{1}$ וגם $M>=-M_{2}$ לכן, $-M<=M_{2}$ וע"י שימוש בכלל הטרנזיטיביות נקבל:

${\begin{matrix}-M&<&M_{2}&<&a_{n}&<&M_{1}&<M\\\ &\ &\ &\ &\Downarrow \ &\ &\ &\\\ &\ &\ &\ &\ |a_{n}|&<M&\ &\end{matrix}}$

$(\Rightarrow )$ כיוון זה הוא טריוויאלי ונובע ישירות מההגדרה של חסימות מלעיל ומלרע.