חשבון אינפיניטסימלי/סדרות/סדרות מונוטוניות

הסבר סדרות מונוטוניות

סדרה מונוטונית הינה סידרה שהכיוון שלה קבוע, כלומר סדרה תהא מונוטונית אם היא רק עולה או רק יורדת. נאמר על סדרה כי היא מונוטונית יורדת אם הכיוון הוא כלפי מטה, ומונוטונית עולה אם הכיוון הוא כלפי מעלה.

דוגמאות:

• הסדרה $a_{n}=e^{n}$ היא מונוטונית עולה.
• הסדרה $a_{n}={\frac {n+1}{n}}$ היא מונוטונית יורדת.
• הסדרה $a_{n}=(-1)^{n}$ אינה מונוטונית.

הגדרת סדרות מונוטוניות

הגדרה: סדרה עולה ויורדת תהי $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ סדרה, נקרא לסדרה הזו סדרה עולה אם לכל $n\in \mathbb {N}$, מתקיים $a_{n}\leq a_{n+1}$, ונקרא לה סדרה יורדת אם לכל $n\in \mathbb {N}$, מתקיים $a_{n}\geq a_{n+1}$

הגדרה: סדרה מונוטונית תהי $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ סדרה, נקרא לסדרה הזו סדרה מונוטונית, אם היא סדרה עולה או יורדת.

משפט: תהי $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ סדרה, אם היא סדרה עולה וחסומה אז מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\sup(a_{n}|n\in \mathbb {N} )$, אם היא יורדת וחסומה אז מתקיים ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\inf(a_{n}|n\in \mathbb {N} )$. הוכחה: נוכיח את המקרה שהסדרה $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ עולה וחסומה, ההוכחה למקרה שבו $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ יורדת אנלוגית לחלוטין. תהי $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ סדרה עולה וחסומה, כיוון שהקבוצה $(a_{n}|n\in \mathbb {N} )$ לא ריקה וחסומה, קיים לה סופרמום, לכן נסמן $S=\sup(a_{n}|n\in \mathbb {N} )$. יהי $\epsilon >0$, לפי הגדרת הסופרמום קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שמתקיים $a_{N}>S-\epsilon$, ומההנחה שהיא סדרה עולה, לכל $n>N$ מתקיים $a_{n}\geq a_{N}$, וגם מההנחה ש$S$ הוא סופרמום, הוא בוודאי חסם מעיל מינימלי, ולכן $a_{n}\leq S$, ומתקיים $a_{n}<S+\epsilon$, ולכן לכל $n>N$ יתקיים $L-\epsilon <a_{n}<L+\epsilon$, כלומר $|a_{n}-S|<\epsilon$, וזו בדיוק הגדרת הגבול ולכן ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=\sup(a_{n}|n\in \mathbb {N} )=S$.