חשבון אינפיניטסימלי/רציפות

באופן אינטואיטיבי, פונקציה נקראת רציפה אם ניתן לצייר אותה בקטע בלי להרים את העט.

לדוגמא, הפונקציה $f(x)={\frac {1}{x}}$ לא־רציפה בקטע $[-1,1]$ כי נצטרך להרים את העט במעבר בין השליליים לחיוביים.

עוד דוגמא לפונקציה לא־רציפה היא $f(x)={\frac {x}{x}}$ והיא לא־רציפה על כל הישר הממשי כיון שנצטרך להרים את העט לקראת ההגעה שלנו ל־$x=0$ ואז לחזור ולכתוב בצד השני של ה"חור" הזה.

ההגדרה הזאת של "להרים את העט" ממש לא־פורמלית ולא קבילה, ולכן ננסה להגדיר רציפות של פונקציה בקטע בתור רציפות שלה בכל נקודה ונקודה. איך נגדיר רציפות של פונקציה בנקודה? אם הפונקציה מתקרבת יותר ויותר לערך שהיא בסופו של דבר מקבלת, ככל שהיא מתקרבת לנקודה מסוימת.

הגדרה

פונקציה $f(x)$ נקראת רציפה בנקודה $x_{0}$ אם מתקיים $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$ .

פונקציה נקראת רציפה בקטע $[a,b]$ אם לכל $x_{0}$ בקטע, הפונקציה רציפה ב־$x_{0}$ .

נסתכל על $f(x)={\frac {x}{x}}$ . נראה כי $\lim _{x\to 0}f(x)=1$ אבל $f(0)$ לא־מוגדר. לכן הפונקציה לא־רציפה בנקודה, ובפרט בכל הישר הממשי.

מיון נקודות אי־רציפות

תהי פונקציה לא־רציפה ב־$x_{0}$ . נחלק ל־3 מקרים שונים שיכול להיות אז:

• נקודת אי־רציפות סליקה (או מסוג 0) – אם קיים (במובן הצר, כלומר, לא אינסופי) $\lim _{x\to x_{0}}f(x)\neq f(x_{0})$ . דוגמא לכך היא פונקציה $f(x)={\frac {x}{x}}$ שבה $x=0$ נקודת אי־רציפות כזו.
• נקודת אי־רציפות מסוג ראשון – אם קיימים (במובן הצר) הגבולות $\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x_{0})\neq \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x_{0})$ . דוגמא לכך היא פונקציית הסימן

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}1&:x>0\\0&:x=0\\-1&:x<0\end{cases}}$

הנקודה $x=0$ היא אי־רציפות כזו כיון שהגבול החד־צדדי מהצד השלילי הוא $-1$ אבל הגבול החד־צדדי מהצד החיובי הוא $\lim _{x\to 0^{+}}\operatorname {sgn}(x)=1$ והרי $-1\neq 1$ .

• נקודת אי־רציפות מסוג שני – כל מקרה אחר. כלומר, לפחות אחד הגבולות החד־צדדיים לא קיים במובן הצר.

רציפות במידה שווה

על־פי הגדרת הרציפות, $f(x)$ נקראת רציפה בנקודה אם מתקיים

$\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall x:|x-x_{0}|<\delta \to {\bigl |}f(x)-f(x_{0}){\bigr |}<\varepsilon$

כלומר, לכל מרחק נתון, קיימת סביבה מספיק קטנה של $x_{0}$ כך שלכל $x$ בסביבה הזאת, $f(x)$ יהיה רחוק מ־$f(x_{0})$ עד כדי המרחק הנתון.

אנחנו רוצים להגדיר משהו יותר חזק מרציפות. $f(x)$ נקראת רציפה במידה שווה (או רציפה במ"ש) בקטע $[a,b]$ אם מתקיים

$\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall x_{1},x_{2}\in [a,b]:|x_{1}-x_{2}|<\delta \to {\bigl |}f(x_{1})-f(x_{2}){\bigr |}<\varepsilon$

כלומר, לכל מרחק נתון, קיימת סביבה מספיק קטנה כך שלכל שתי נקודות בתוכה המרחק בין ערכי הפונקציה בהן יהיה קטן מהמרחק הנתון (יש להדגיש שלכל מרחק התחלתי, קיים אורך סביבה מספיק קטן אחר).

רציפות במ"ש היא לא תכונה מאוד שימושית, אך היא עוזרת להוכיח שכל פונקציה רציפה בקטע סגור הנה אינטגראבילית.

קריטריונים לרציפות במ"ש

• תנאי הכרחי אך לא־מספיק – פונקציה רציפה במ"ש הנה רציפה. (לא עובד בכיוון ההפוך. כלומר פונקציה רציפה אינה בהכרח רציפה במ"ש)
• סכום רציפות במ"ש הוא רציף במ"ש. כפל סקלר ברציפה במ"ש רציף במ"ש.

נשים לב שכפל פונקציות רציפות במ"ש לא בהכרח רציף במ"ש. לדוגמא: $f(x)=x$ רציף במ"ש ב־$[0,\infty )$ אך $x\cdot x=x^{2}$ לא.

• פונקציה היא לא־רציפה במ"ש בקטע $[a,b]$ אם ורק אם קיימות 2 סדרות $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ עבורן $|x_{n}-y_{n}|\to 0$ אבל ${\bigl |}f(x_{n})-f(y_{n}){\bigr |}\not \to 0$ .
• תנאי הכרחי אך לא־מספיק – פונקציה רציפה במ"ש בקטע סופי חסומה שם.
• משפט קנטור – פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה שם.
• נניח $f$ רציפה במ"ש על קטע המכיל את התמונה של פונקציה רציפה במ"ש $g$ . אזי ההרכבה $f{\bigl (}g(x){\bigr )}$ רציפה במ"ש.
• אם $f$ רציפה במ"ש על הקטעים $(a,b],[b,c)$ (לאו דווקא קצות סופיים), אזי היא רציפה במ"ש באיחוד $(a,c)$ .
• תהי $f$ רציפה על קטע חצי אינסופי מהצורה $[a,\infty )$ , כך שהגבול $\lim _{x\to \infty }f(x)=L$ קיים וסופי, אזי $f$ רציפה במ"ש על הקטע $[a,\infty )$ .
• מסקנה – תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) לרציפות במ"ש – גבולות סופיים בקצות הקטע: תהי $f$ פונקציה רציפה על קטע לאו דווקא סופי, אזי אם הגבולות של הפונקציה בקצות הקטע קיימים וסופיים, הפונקציה רציפה במ"ש בקטע.
• תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) – נגזרת חסומה: פונקציה גזירה שנגזרתה חסומה בקטע, רציפה שם במ"ש.
• תנאי מספיק (אבל לא הכרחי) – מחזורית ורציפה: פונקציה מחזורית הרציפה על כל הממשיים, רציפה במ"ש על כל הממשיים.

שימו לב: פונקציה נקראת מחזורית אם קיים מספר ממשי $p$ כך שלכל $x$ ממשי מתקיים:

$f(x+p)=f(x)$

לדוגמא: הפונקציה $f(x)=\sin(x)$ מחזורית כיון שלכל $x$ מתקיים $\sin(x+2\pi )=\sin(x)$ (אז $p$ במקרה הזה הוא $2\pi$). סינוס היא פונקציה רציפה בנוסף להיותה מחזורית ולכן רציפה במ"ש ב־$\mathbb {R}$ .