חשבון אינפיניטסימלי/שדות

מבוא

בפרק זה נגדיר את קבוצת המספרים הממשיים. נראה בעתיד כי קבוצת המספרים הממשיים היא שדה.

מושגי יסוד

סימון	פירוש
$a\in A$	האיבר $a$ בקבוצה $A$
$\forall$	לכל
$\exists$	קיים

שדה

הגדרה 1: שדה ($\mathbb {F}$) נאמר שקבוצה היא שדה $\mathbb {F}$ אם מוגדרות עליה שתי פעולות, חיבור ($+_{\mathbb {F} }$) וכפל ($*_{\mathbb {F} }$) המקיימות את אקסיומות הבאות (נקראות אקסיומות השדה) לכל $a,b,c\in \mathbb {F}$ (לכל איברים הנמצאים בשדה): סגירות לחיבור, $\forall a,b\in \mathbb {F} :a+_{\mathbb {F} }b\in \mathbb {F}$ סגירות לכפל, $\forall a,b\in \mathbb {F} :a*_{\mathbb {F} }b\in \mathbb {F}$ חילוף בחיבור, $\forall a,b\in \mathbb {F} :a+_{\mathbb {F} }b=b+_{\mathbb {F} }a$ חילוף בכפל, $\forall a,b\in \mathbb {F} :a*_{\mathbb {F} }b=b*_{\mathbb {F} }a$ קיבוץ לחיבור, $\forall a,b,c\in \mathbb {F} :(a+_{\mathbb {F} }b)+_{\mathbb {F} }c=a+_{\mathbb {F} }(b+_{\mathbb {F} }c)$ קיבוץ לכפל, $\forall a,b,c\in \mathbb {F} :(a*_{\mathbb {F} }b)*_{\mathbb {F} }c=a*_{\mathbb {F} }(b*_{\mathbb {F} }c)$ פילוג, $\forall a,b,c\in \mathbb {F} :(a+_{\mathbb {F} }b)*_{\mathbb {F} }c=(a*_{\mathbb {F} }c)+_{\mathbb {F} }(b*_{\mathbb {F} }c)$ כמו גם בשדה קיימים שני איברים (נסמנם אחד ואפס) שונים זה מזה, כאשר $0_{\mathbb {F} }\neq 1_{\mathbb {F} }\in \mathbb {F}$, המקיימים: ניטרליות (או אדישות) לאפס בחיבור: $\forall a\in \mathbb {F} :a+0_{\mathbb {F} }=a$ ניטרליות לאחד בכפל: $a*1=a$ נגדיות של איברים, $\forall a_{\mathbb {F} }\in \mathbb {F} ,\exists (-a)\in \mathbb {F} :a+(-a)=0_{\mathbb {F} }$ קיום איבר הפכי, $\forall a\neq 0_{\mathbb {F} }\in \mathbb {F} \ ,\ \exists a^{-1}\in \mathbb {F} :a*a^{-1}=1_{\mathbb {F} }$ (להשם לב לווקטור אין איבר נגדי רק לסקלר!)

דוגמות לשדות

1. $\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}$ - קבוצת המספרים הרציונליים היא שדה מפני שמקיימת את כל תכונות השדה.
2. $\mathbb {C} =\left\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {R} \right\}$ - קבוצת המספרים המרוכבים היא שדה.
3. $F_{2}=\left(0,1\right)$
4. $\mathbb {R}$

הוכחות

בחלק זה נוכיח הוכחות טריווליות. עיקר החשיבות היא להבין כיצד יש לגשת ולפתור תרגילים מסוג זה.

טענה 1.1: בשדה קיים רק איבר אחד האדיש לחיבור $\forall x\in \mathbb {F} :x+e_{1}=x\ \ \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ \ \ x+e_{2}=x\ \ \ \Rightarrow e_{1}=e_{2}$ יהי שדה $\mathbb {F}$ $e_{1},e_{2}\in \mathbb {F} :\forall x\in \mathbb {F} :x+e_{1}=x\ \ \ \ \ \ \wedge \ \ \ \ \ \ x+e_{2}=x$ נשווה את שתי המשוואות של $x$ נקבל $x+e_{1}=\ x\ =x+e_{2}$. נוסיף איברים נגדיים, $x+e_{1}-x=x+e_{2}-x$. על פי כלל החילוף לחיבור, $x-x+e_{1}=x-x+e_{2}$. על פי כלל הקיבוץ לחיבור, $(x-x)+e_{1}=(x-x)+e_{2}$. על פי חיבור מספרים נגדיים, $0+e_{1}=0+e_{2}$. על פי נטרליות לאפס נקבל $e_{1}=e_{2}$. נהוג לסמן את האיבר $e$ ב-$0_{\mathbb {F} }$

טענה 1.2: בשדה קיים רק איבר אחד האדיש לכפל יהי $x,f_{1},f_{2}\in \mathbb {F} :x*f_{1}=x\ \ \ \ \wedge \ \ \ \ x*f_{2}=x\Rightarrow f_{1}=f_{2}$ נשווה את שתי המשוואות של $x$ נקבל $x*f_{1}=x*f_{2}$ נוסיף איבר הופכי, $x*f_{1}*x^{-1}=x*f_{2}*x^{-1}$ על פי כללי החילוף לכפל, $x*x^{-1}*f_{1}=x*x^{-1}*f_{2}$ על פי כללי הקיבוץ לכפל, $1_{\mathbb {F} }*f_{1}=1_{\mathbb {F} }*f_{2}$ על פי נטרליות אחד, $f_{1}=f_{2}$ נהוג לסמן את האיבר האדיש לכפל ב-$1_{\mathbb {F} }$

טענה 1.3: לכל איבר בשדה קיים איבר נגדי יחיד יהי $x\in \mathbb {F}$. נניח בשלילה כי קיימים שני איברים נגדיים ל-$x$, ונסמנם ב-$x',x''$ כך שמתקיים $x+x'=0\ \ \ \wedge \ \ \ x+x''=0$ נשווה את שתי המשוואות $x+x'=x+x''$ נוסיף איבר נגדי $x+x'-x=x+x''-x$ על פי חוק החילוף, קיבוץ וחיבור מספרים נגדים, $x'+0=x''+0$ על פי נטרליות לאפס, $x'=x''$

טענה 1.4: לכל איבר בשדה השונה מאפס קיים הופכי יחיד יהי $x\in \mathbb {F}$. נניח בשלילה כי קיימים שני איברים הופכים ל-$x$, ונסמנם ב-$x^{-1'},x^{-1''}$ כך שמתקיים $x*x^{-1'}=1_{\mathbb {F} }\ \ \ \wedge \ \ \ x*x^{-1''}=1\mathbb {F}$ נשווה את שתי המשוואות $x*x^{-1'}=x*x^{-1''}$ נוסיף איבר הפכי ל-$x$, נקבל $x*x^{-1'}*x^{-1}=x+x^{-1''}*x^{-1}$ על פי חוק החילוף, קיבוץ וכפל איברים נגדיים, $x^{-1'}*1_{\mathbb {F} }=x^{-1''}*1_{\mathbb {F} }$ על פי נטרליות לאחד, $x^{-1'}=x^{-1''}$

טענה 2: $\forall x\in \mathbb {F} :x+x=x\Rightarrow x=o_{\mathbb {F} }$ נניח בשלילה ש-$x\neq 0$. יהי $x\in \mathbb {F}$ המקיים ש-$x+x=x$ נוסיף משני האגפים את האיבר הנגדי ל-$x$, נסמנו $x'$, כך שמתקיים $x+x+x'=x+x'$ על פי חיבור איברים וקיבוץ של חיבור, $x+0=0$ על פי נטרליות לאפס, $x=0$ בסתירה להנחתנו ולכן $x=0$

טענה 3.1: כפל באפס $\forall x\in \mathbb {F} :\ x*0_{\mathbb {F} }=0_{\mathbb {F} }$ יהי $x\in \mathbb {F}$ אזי $x*0=x*(0_{\mathbb {F} }+0_{\mathbb {F} })$ על פי פילוג, $x*0_{\mathbb {F} }=x*0_{\mathbb {F} }+x*0_{\mathbb {F} }$ המשוואה שקבלנו מקיימת טענה 2 וכל $x=0$

טענה 3.2: כפל שני איברים שווה אפס $\forall x,y\in \mathbb {F} :\ xy=0_{\mathbb {F} }\Leftrightarrow x=0\ \ \ \vee \ \ \ y=0$ מאחר שיש לפנינו משוואה של אם"ם (המסומנת על ידי $\Leftrightarrow$) עלינו להוכיח נכונות משני הכיוונים. מכיוון ראשון, נתון כי $x=0$ על פי טענה 3.1 בהכרח מתקיים $xy=0$. באופן דומה נוכיח עבור $y=0$. מכיוון שני, נתון כי $xy=0$. נניח בשלילה כי $x\neq 0\ \ \wedge \ \ y\neq 0$. מאחר ש-$x\neq 0\ \ \wedge \ \ y\neq 0$ קיים ל-$x$ איבר הפכי $y={\frac {1}{x}}$ המקיים $x*y=x*({\frac {1}{x}})=0_{\mathbb {F} }$ בסתירה לאקסיומת של מספר הפכי.

טענה 5: $\forall a\neq 0,b,c\in \mathbb {F} \ \ \exists x\in \mathbb {F} \Rightarrow ax+b=c$ עלינו להוכיח קיום ויחידיות של $x$. נוכיח יחידות: נניח שקיימים $x,x'\in \mathbb {F}$ כך שמתקיים $ax+b=c$ וגם $ax'+b=c$ נשווה את המשוואות, $ax'+b=ax+b$ נוסיף איבר נגדי ל-b משני האגפים, $ax'+b-b=ax+b-b$ על פי חיבור מספרים נגדים ונטרליות לאפס $ax'=ax$ נוסיף איבר נגדי ל-$a$ משני האגפים, ונכפיל, $1*x'=1*x$ על פי נטרליות לאחד, $x'=x$. נוכיח קיום : $\exists x={\frac {1}{a}}*(c-b)$ מסגירות וחיבור השדה. נציב את $x$ במשוואה ונקבל $ax+b=a({\frac {1}{a}}*(c-b))+b$ על פי כלל הקיבוץ, כפל הופכי ונטרליות לאחד נקבל $ax+c=c+(-b)+b$ על פי חיבור מספרים נגדים ונטרליות לאפס נקבל כי פתרון המשוואה $ax+c=0$

טענה 9.1: חוק הסימנים: $a,b\in \mathbb {F} :(-a)b=a(-b)=-(ab)$ ע"פ הגדרת נגדי $-(ab)=(-a)b$ . הכיוון השני מוכח ע"י החילוף.

טענה 9.2: חוק הסימנים: $a,b\in \mathbb {F} <:(-a)(-b)=(ab)$

טענה 9.3: $a,b\in \mathbb {F} :-(a+b)=-a-b$ יהי $(a+b),(-a-b)\in \mathbb {F}$ נוכיח כי מתקיים $(a+b)+(-a-b)=0_{\mathbb {F} }$ ואז נוכל לטעון כי $(-a-b)=-(a+b)$ על פי הוספת איבר נגדי. על פי פילוג, $(a+b)+(-a-b)=a+b+(-a)+(-b)$ על פי חוק החילוף $a+(-a)+b+(-b)=0+0$

פעולות חשבון משמאל

טענה 7.1: ניתן לחבר מספרים נגדים מכיוון שמאל יהי $a\in \mathbb {F}$ , אזי $(-a)+a=0$ על פי חוק החילוף, $-a+a=a+(-a)$ על פי חיבור איברים נטרלים נקבל $(-a)+a=0$

טענה 7.2: ניתן לכפול מספרים הופכים משמאל $0\neq a\in \mathbb {F} \Rightarrow a*a^{-1}=a^{-1}*a=1$ על פי חילוף לכפל נקבל $a^{-1}a=a*a^{-1}=1$.

טענה 7.3: ניתן לבצע הכפלה של מספר נטרלי מכיוון שמאל $1a=a$ על פי חוק החילוף לכפל $a=a+0=0+a\ ,\ a=a1=1a$

טענה 7.4: לא ניתן לחלק באפס $\forall a,b\in \mathbb {F} :ab=0\Rightarrow a=0\ \ \ \wedge \ \ \ b=0$ נניח בשלילה $ab=0,a\neq 0,b\neq 0$ אזי קיים $b^{-1}$ נכפול בו מימין, ונקבל $a=0b^{-1}=0$ , בסתירה.

טענה 7.5: אין איבר נגדי לכפל לאפס ($\forall a\in \mathbb {F} :0*a\neq 1$) $0a=0\neq 1$

עוד טענות

טענה 5.1: $\forall a,y\in \mathbb {F} :a+y=a\Rightarrow y=0_{\mathbb {F} }$

טענה 5.2: $\forall a\neq 0,y\in \mathbb {F} :ay=a\Rightarrow y=1_{\mathbb {F} }$

טענה 5.3: $\forall a,x\in \mathbb {F} :a+x=0_{\mathbb {F} }\Rightarrow x=-a$

טענה 5.4: $\forall a\neq 0,x\in \mathbb {F} :ax=1_{\mathbb {F} }\Rightarrow x={\frac {1}{a}}$

טענה 6.1.1: סימטריות הנגדי, $\forall a\in \mathbb {F} :-(-a)=a$

טענה 6.1.2: סימטריות ההפכי, $\forall a\neq 0\in \mathbb {F} :(a^{-1})^{-1}={\frac {1}{\frac {1}{a}}}=a$

טענה 8.1: $\forall a,b\in \mathbb {F} :a*b=0_{\mathbb {F} }\Rightarrow a=0_{\mathbb {F} }\ \ \ \wedge \ \ \ b=0_{\mathbb {F} }$

טענה 10: מינוס אחד כפול איבר שווה לאיבר הנגדי של אותו איבר $\forall a\neq 0\in \mathbb {F} :(-1)a=-a$ יהי $a\in \mathbb {F}$ על פי כפל באפס: $a*0=0$ $a(1-1)=0$ על פי פילוג $(-1)(a)+(1)(a)=0$ נוסיף איבר נגדי, $(-1)(a)+a-a=0-a$ על פי חיבור מספרים נגדים $(-1)(a)=-a$

טענה 11: פילוג הנגדי לכפל מעל הכפל.לכל $0\neq a,b\in \mathbb {F}$ , $(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ נתון $(ab)=(a^{-1}b{-1})$ איבר הופכי, ab, $(ab)(ab)^{-1}=(ab)(a^{-1}b{-1})$ ע"פ חילוף וקיבוץ, $1_{\mathbb {F} }=aa^{-1}*bb^{-1}$ איבר הפכי, $1_{\mathbb {F} }=1_{\mathbb {F} }$ אדישות ל-1, $1_{\mathbb {F} }=1_{\mathbb {F} }$

טענה 12.1: $\forall a,b,c\in \mathbb {F} :a(b+c)=ab+ac$ על פי פילוג נקבל $a(b+c)=(b+c)a=ba+ca=ab+ac$

טענה 12.2: $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$ על פי חוק הפילוג $(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd$

טענה 12.3: $b^{2}+2b+1=(b+1)^{2}$ מסעיף 12.2 נובע $(b+1)^{2}=(b+1)(b+1)=b*b+b*1+1*b+1*1$ מחילוף כפל ואדישות ל-1 נקבל $b^{2}+2b+1=(b+1)^{2}$

טענה 13: $\forall {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}$ על פי כפל מספרים נגדים, ${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}*{\frac {d}{d}}-{\frac {cd}{db}}=(ad)(bd)^{-1}-(cd)(db)^{-1}$ על פי חילוף, $(ad)(bd)^{-1}-(cd)(bd)^{-1}$ על פי פילוג, $(bd)^{-1}[(ad)-cd)]={\frac {ad-cb}{bd}}$

דוגמאות

• $(\mathbb {N} ,+,*)$ אינה שדה מפני שלא קיים בו איבר נייטרלי לחיבור.

• $(\mathbb {Z} ,+,*)$ אינו שדה ביחס לחיבור ולכפל הרגילים, כי אין לאיברים מספר הפכי.

• $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ הם שדות ביחס לחיבור ולכפל הרגילים.

• $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]={\Big \{}a+b{\sqrt {5}}|a,b\in \mathbb {Q} {\Big \}}$ הוא שדה ביחס לחיבור ולכפל הרגילים.

• לכל $p\in \mathbb {N}$ ראשוני, $\mathbb {Z} _{p}=\{x\in \mathbb {Z} |0\leq x<p\}$ שדה ביחס לחיבור $a\oplus b=(a+b){\pmod {p}}$ ולכפל $a\otimes b=ab{\pmod {p}}$

• $\mathbb {R}$ שדה ביחס לחיבור $a\oplus b={\sqrt[{3}]{a^{3}+b^{3}}}$ ולכפל הרגיל

תת-שדה

יהי $\mathbb {F}$ שדה, ו- $\mathbb {H} \subseteq \mathbb {F}$ תת-קבוצה שלו.

אם $\mathbb {H}$ שדה ביחס לפעולות המוגדרות ב- $\mathbb {F}$ , אזי אומרים ש- $\mathbb {H}$ תת-שדה של $\mathbb {F}$