מבנים אלגבריים/הקדמה/פעולות בינאריות

למדנו (בספרים קודמים) כי פונקציה (פעולה) זוהי התאמה בין אברים של קבוצה אחת (התחום) לאברי קבוצה אחרת (הטווח). כמו כן, צריך להתקיים שלכל אבר בתחום יש אבר בטווח שמתאים לו וזה אבר יחיד.

למשל, אם ניקח את התחום להיות $\mathbb {R}$ , את הטווח להיות $\mathbb {R}$ ואת ההתאמה המקיימת $f(x)=x^{2}$ אז $f$ זוהי פונקציה כיון שלכל מספר בתחום, קבוצת כל הממשיים, ניתן להתאים לריבוע של המספר הזה ולכל מספר יש ריבוע יחיד אז ההתאמה היא יחידה.

פעולה בינארית זוהי פעולה עם 2 משתנים. איך זה יכול להיות 2 משתנים אם כל האברים נלקחים מקבוצה אחת? התשובה היא שזה אפשרי כאשר הקבוצה עצמה מורכבת מזוגות סדורים של אברים.

פעולה בינארית על קבוצה זוהי פעולה שלוקחת 2 אברים מקבוצה מסוימת ומחזירה אבר באותה קבוצה. למשל: $f:A\times A\to A$ .

קבוצה $X$ נקראת מבנה אלגברי אם קיימת עליה פעולה בינארית. לרוב נסמן את אותה פעולה כמו כפל, למרות שברוב מוחלט של המקרים לא יהיה בכלל קשר בינה ובין הכפל שאנחנו מכירים מחיי היום יום.