מבני נתונים ואלגוריתמים - מחברת קורס/אלגוריתמים/סדרי גדילה/תרגילים/הכוון השני לכללי הגבולות/תשובה

נבנה את הפונקציה כך:

  1. ראשית נקבע צמדים של נקודות.
    1. נקבע ,‏ ו כנקודה הקטנה ביותר בה ‏(חייבת להיות נקודה כזו, כי שואפת לאינסוף)‏‏.
    2. נקבע ,‏ ו כנקודה הקטנה ביותר בה (חייבת להיות נקודה כזו, כי שואפת לאינסוף)‏.
    3. נמשיך כך הלאה: נקבע ,‏ ו כנקודה הקטנה ביותר בה ) (חייבת להיות נקודה כזו, כי שואפת לאינסוף)‏, וכולי.
  2. כעת נגדיר את בעזרת הזוגות:
    1. עבור ,‏ ;‏ .
    2. עבור ,‏ ;‏ .
    3. עבור ,‏ ;‏ . נמשיך כך הלאה והלאה.מהבניה קל לראות את הדברים הבאים:
    4. פונקציה מונוטונית עולה.
    5. בכל נקודה ונקודה, נמצאת בין ל. לכן בהכרח.
    6. יש אינסוף נקודות בהן , אבל גם אינסוף נקודות בהן , ולכן לא ייתכן שהגבול קיים.


כדאי לדעת:

לכאורה אפשר לבנות פונקציה פשוטה הרבה יותר מהמוצגת כאן, לדוגמה:
  1. אם זוגי.
  2. אם אי זוגי.

עם זאת, אמרנו בתחילת הדף על סדרי גדילה שנתמקד בקורס בפונקציות מונוטוניות לא יורדות, והפונקציה שנבנתה כאן אכן מונוטונית לא יורדת.