נשתמש באותו הרעיון בו השתמשתנו כדי לנתח טור של לוגריתמים.
ראשית נראה כי 
.
הוכחה: ![{\displaystyle \displaystyle f(n)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i}^{n}[\Theta (j-i+1)]\leq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}[\Theta (n)]=\Theta (n^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac6eab16c17788f2ba9b67e6545e752060dead8)
.
כעת נראה כי 
.
הוכחה: ![{\displaystyle \displaystyle f(n)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i}^{n}[\Theta (j-i+1)]\geq \sum _{i=1}^{n/4}\sum _{j=i}^{n}[\Theta (j-i+1)]\geq \sum _{i=1}^{n/4}\sum _{j=3n/4}^{n}[\Theta (j-i+1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0057d53bbdfb938e6c0b2a3dedddd572be83b10d)
.
נשים לב שכאשר 
בתחום
ו
בתחום
,
אז
.
לכן נקבל
![{\displaystyle \displaystyle f(n)\geq \sum _{i=1}^{n/4}\sum _{j=3n/4}^{n}[\Omega (n)]=\Theta (n^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f700ac32969dfe6285d940bc704f9f3c44b934)
.
![{\displaystyle \displaystyle f(n)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i}^{n}[\Theta (j-i+1)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7264df179bc09fa25f7437ccaf3e21eef8063496)
.
נשים לב שעבור ערך כלשהו, נוכל לבצע את החלפת המשתנים 
, ונקבל
![{\displaystyle \displaystyle \sum _{j=i}^{n}[\Theta (j-i+1)]=\sum _{j'=0}^{n-i}[\Theta (j'+1)]=\sum _{j'=0}^{n-i}[\Theta (j')]=\Theta ((n-i)^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ec6e1e81a61aa335c924a2d0bda46c4bbf6487)
.
נציב זאת חזרה בסכום הכפול:
![{\displaystyle \displaystyle f(n)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i}^{n}[\Theta (j-i+1)]=\sum _{i=1}^{n}[(n-i)^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7f885120aa2fff189cfb0eaf914fbd4030c5e0)
.
נבצע החלפת משתנים 
, ונקבל:
![{\displaystyle \displaystyle f(n)=\sum _{i=1}^{n}[(n-i)^{2}]=\sum _{i'=0}^{n-1}[i'^{2}]=\Theta (n^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d27ffd3e248d98ebae2f00f9cd82b8c5fd357b1)
.
