נניח שמצאנו זרימה חוקית כלשהי, המתאימה
לכל שני צמתים
. נניח גם שברשת השיורית יש מסלול משפר בעל קיבול
. נסמן מסלול זה כ
. נשים לב ש
ו
. מכאן נוכל להסיק את הדברים הבאים:
- מספר הקשתות הנכנס ל
במסלול זה קטן ב1 ממספר הקשתות היוצאות ממנו.
- מספר הקשתות היוצא מ
במסלול זה קטן ב1 ממספר הקשתות הנכנסות אליו.
- לכל צומת אחר המופיע במסלול, מספר הקשתות הנכנס אליו במסלול שווה בדיוק למספר הקשתות היוצא ממנו.
|
שימו לב: ודא שלא הנחת במובלע שכל צומת מופיע בדיוק פעם אחת בדיוק במסלול. זה רק מקרה פרטי (שאמנם מתאים למקרה הכללי המתואר בשלושת הכללים הקודמים).
|
נקח את הזרימה החוקית, נזרים עוד
יחידות בכל קשת במסלול המשפר, ונראה מה קורה לזרימה.
- לאחר השיפור, הזרימה הישירה בין שני צמתים היא
אם
אינו שייך למסלול המשפר, ו
אם
שייך למסלול המשפר. במקרה השני חייב להתקיים
, משום שאם לא כן, לא ייתכן שקיבול המסלול היה
. לכן בהכרח
.
- הסימטריה ההפכית אינה מופרת, משום שבחרנו בפרשנות לפיה אם אנו מזרימים עוד
יחידות מ
ל
, מזרימים פחות
יחידות מ
ל
.
- שימור הזרם אינו מופר. נקח צומת
שנמצא על המסלול. לפי טענה 3 למעלה, אם
במסלול (עבור
כלשהו), אז גם
במסלול (עבור
כלשהו). אך זה אומר שהזרימה מהצומת החוצה אינה משתנה, כי
.
מה קורה לגודל הזרימה? נתבונן ב
. עפ"י טענה 1 למעלה, גודל זה גדל ב
בדיוק.