מטריצות ותכונותיהן



מטריצה הפיכה ותכונותיהעריכה

הגדרה 9: מטריצה הפיכה

מטריצה   תיקרא מטריצה הפיכה אם ורק אם קיימת מטריצה   כך שמתקיים  , מטריצה הפיכה תיקרא מטריצה רגולרית, ומטריצה לא הפיכה תיקרא מטריצה סינגולרית, את המטריצה ההופכית של   נסמן  .



משפט 6: משפטי הפיכות 1

  • אם   מטריצה הפיכה ומתקיים  , או  , בהכרח  .
  • אם   מטריצה הפיכה ומתקיים   או   אז  .
  • אם   מטריצה הפיכה, אז מתקיים  .
  •   מטריצה הפיכה אם ורק אם המטריצה   הפיכה ומתקיים  .
  • אם   מטריצות הפיכות מאותו הסדר, מתקיים  .
  • אם   מטריצה הפיכה, ו  סקלר, גם   הפיכה ומתקיים  .


הוכחה:

  •  , ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין.
  •   ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין.
  • נובע ישירות מהשוויון, מתקיים  .
  •   ולכן  , בכיוון השני ההוכחה זהה לחלוטין.
  •  , וגם  .
  •  , וגם  .




 


מטריצה אלמנטריתעריכה

הגדרה 10: מטריצה אלמנטרית

מטריצה תיקרא מטריצה אלמנטרית אם היא התקבלה ממטריצת היחידה על ידי פעולה אלמנטרית, נהוג לסמן את המטריצה אשר התקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית  , ב .


טענה 1: תהי   המטריצה האלמנטרית שהתקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית  , אזי מתקיים  



משפט 7: כל מטריצה אלמנטרית   הפיכה, ומתקיים  

הוכחה: נבצע על המטריצה את הפעולה ההפוכה, ונקבל את מטריצת היחידה.

 


טענה 2: כל מטריצה הפיכה היא מכפלת מטריצות אלמנטריות

עוד על מטריצה הפיכהעריכה

משפט 8: משפטי הפיכות 2

כל אחד מהתנאים הבאים הוא תנאי הכרחי ומספיק להפיכות המטריצה  :

  • למשוואה   קיים רק הפתרון הטריוויאלי
  • לכל וקטור עמודה   קיים פתרון למשוואה  .
  • לכל וקטור עמודה   קיים פתרון יחיד למשוואה  .



הוכחה:

  •  .
  • לכל וקטור  , מתקיים ש  הוא פתרון של המשוואה  , כיוון שמתקיים  .
  • נניח כי   מטריצה הפיכה, יהיה   וקטור עמודה, אם   הוא פתרון של המשוואה, אז  , ולכן נוכל לכפול את שני האגפים ב  ונקבל  , לכן אם קיים פתרון הוא בהכרח שווה ל ,ולכן אם קיים פתרון הוא יחיד.